Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng

A. (5; + ∞).

B. (3; 5).

C. (0; 5).

D. (3; + ∞).

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Cho hàm số $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1};$

b) $y=2x-\frac{1}{1-2x}$.

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$;

b) $y=\frac{x-3}{1-x}$.

Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y' = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x3 + x – 2;

b) y = 2x3 + x2 – $\frac{1}{2}x$ – 3. 

Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d' là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d' > 0, ảnh ảo thì d' < 0). Ta có công thức:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d^{\text{'}}}$ hay $d^{\text{'}}=\frac{df}{d-f}$.

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).

Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d'. Ta có hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$ và x ≠ 3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x-\frac{1}{x}$;

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$;

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$.

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$;

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$;

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$.

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = – 2x3 – 3x2 + 1;

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2.

Cho hàm số y = – x2 + 4x – 3.

a) Lập bảng biến thiên.

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:

$C\left(v\right)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\left(0<v\le 120\right)$

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt $m=m\left(v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ trong hoạt động khởi động (trang 19).

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức $y\left(t\right)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$, với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ≥ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn.

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+2}{2x-4}$;                          b) $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}$;                  c) $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}$.

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{4x-5}{2x-3};$                        b) $y=\frac{-2x+7}{4x-3}$;               c) $y=\frac{5x}{3x-7}$.

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C\left(x\right)=\frac{50x+2000}{x}$. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = C(x).

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x}{x+5}$.

Cho đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}$ và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).

a) Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=\frac{x-1}{4x+1}$;                                    b) $y=g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x};\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x}$

b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Cho hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ có đồ thị như Hình 1.

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1};\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-1}.$

b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → 1+; x → 1−.

Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức $m=m\left(v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, trong đó m0 là khối lượng nghỉ của hạt c = 300 000 km/s là tốc độ ánh sáng. Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đổi như thế nào? Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số m = m(v) ở hình bên như thế nào?

Hộp sữa $1l$ được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Khối lượng $q$ (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng/kg) theo công thức $p=15-\frac{1}{2}q$. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức $R=pq$.

a) Viết công thức biểu diễn $R$ theo $p$.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\sqrt{1-x^2}+x^2$

Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y=x^3-3x-4$ trên nửa khoảng [-3;2)
b) $y=\frac{3x^2-4x}{x^2-1}$ trên khoảng $(-1;+\mathrm{\infty })$

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y=x^3-12x+1$ trên đoạn [-1;3]
b) $y=-x^3+24x^2-180x+400$ trên đoạn [3;11]
c) $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn [3;7]
d) $y=\sin 2x$ trên đoạn $[0;\frac{7\pi }{12}]$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=x+\frac{4}{x^2}$ trên đoạn [1;4]

Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2$; $g(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}^{2}neux\le 2\\ -4x+10neux\ge 2\end{array}$ và $h(x)=3-\frac{1}{2}{x}^2$ trên đoạn [-1;3]

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t $\ge$ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

$y(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$ trên đoạn [0;3]                      

b) $g(x)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

c) $h(x)=x\sqrt{2-x^2}$

Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là ${28}^{\circ }C$.

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là ${40}^{\circ }C$.

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là ${34}^{\circ }C$.

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Đạo hàm f '(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).