Từ vị trí A ở phía trên một tòa nhà có chiều cao AD = 68 m, bác Duy nhìn thấy vị trí C cao nhất của một tháp truyền hình, góc tạo bởi tia AC và tia AH theo phương nằm ngang là $\widehat{CAH}=43°.$ Bác Duy cũng nhìn thấy chân tháp tại vị trí B mà góc tạo bởi tia AB và tia AH là $\widehat{BAH}=28°,$ điểm H thuộc đoạn thẳng BC (Hình 27). Tính khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà và chiều cao BC của tháp truyền hình (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Hình 26 minh hoạ một phần con sông có bề rộng AB = 100 m. Một chiếc thuyền đi thẳng từ vị trí B bên này bờ sông đến vị trí C bên kia bờ sông. Tính quãng đường BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét), biết $\widehat{ABC}=35°.$

Tính độ dài đường gấp khúc ABCDEGH (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét), biết các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEG, OGH là các tam giác vuông tại các đỉnh lần lượt là B, C, D, E, G, H; các góc O1, O2, O3, O4, O5, O6 đều bằng 30° và OA = 2 cm (Hình 25).

Trong Hình 24, cho $\hat{O}=\alpha$, AB = m và $\widehat{OAB}=\widehat{OCA}=\widehat{ODC}=90°.$

Chứng minh:

a) OA = m.cotα;

b) AC = m.cosα;

c) CD = m.cos2α.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh AB = AC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=30°.$ Chứng minh AC = $\frac{1}{2}$BC.

Cho tam giác ABC có đường cao AH = 6 cm, $\hat{B}=40°,\hat{C}=35°.$ Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BH, AC, BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Tìm x, y trong mỗi hình 23a, 23b, 23c (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Cho hình chữ nhật ABCD thoả mãn AC = 6 cm, $\widehat{BAC}=47°.$ Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AD.

Tìm số đo góc nhọn C và độ dài cạnh góc vuông AB, cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, biết cạnh góc vuông AC = 7 cm và $\hat{B}=55°.$

Tìm độ dài cạnh góc vuông AC và số đo các góc nhọn B, C của tam giác vuông ABC, biết cạnh góc vuông AB = 5 cm và cạnh huyền BC = 13 cm.

Tính độ dài cạnh AB trong Hình 17 khi AC = 4 cm và $\hat{B}=34°$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 17).

a) Biểu diễn tanB, cotC theo AB, AC.

b) Viết công thức tính AC theo AB và tanB.

c) Viết công thức tính AC theo AB và cotC.

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CK. Biểu diễn CK theo AC và sinA. Từ đó, chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng $\frac{1}{2}$.AB.AC.sinA.

Tính độ cao AC trong Hình 12 khi BC = 20 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 13).

a) Biểu diễn sinB, cosC theo AC, BC.

b) Viết công thức tính AC theo BC và sinB.

c) Viết công thức tính AC theo BC và cosC.

Hình 12 mô tả đường lên dốc ở Hình 11, trong đó góc giữa BC và phương nằm giữa BA là $\widehat{ABC}=15°.$

Cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC (Hình 12) có liên hệ với nhau như thế nào?

Hình 10 mô tả tia nắng mặt trời dọc theo AB tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc $\alpha =\widehat{ABH}.$ Sử dụng máy tính cầm tay, tính số đo góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) biết AH = 2 m, BH = 5 m.

Cho góc nhọn α. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A sao cho $\hat{B}=\alpha .$

a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn α theo AB, BC, CA.

b) Chứng minh:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1.$

Từ đó, tính giá trị biểu thức: S = sin235° + cos235°; T = tan61°.cot61°.

Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giác trị biểu thức:

A = sin25° + cos25° – sin65° – cos65°.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) 41°;

b) 28°35’;

c) 70°27’46’’.

Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc 63°? Vì sao?

a) sin27°;

b) cos27°;

c) tan27°;

d) cot27°.

Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M. Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc N.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, BC = 6 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) các giá trị lượng giác sau:

sin71°; cos48°; tan59°; cot23°.

Sử dụng tính chất cotα = tan(90° – α), ta có thể tính được côtang của một góc nhọn. Chẳng hạn ta tính cot56° như sau:

Cùng với đơn vị đo góc là độ (kí hiệu: °), người ta còn sừ dụng những đơn vị đo góc khác là: phút (kí hiệu: ’), giây (kí hiệu: ”), với quy ước: 1° = 60’ ; 1’ = 60’’.

Ta có thể tính giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc nhọn bằng cách sử dụng các phím:  trên máy tính cầm tay. Trước hết, ta đưa máy tính về chế độ “độ”. Để nhập độ, phút giây, ta sử dụng phím .

Chẳng hạn, để tính sin35° và tan70°25’43’’, ta làm như sau:

Sử dụng bảng tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt, tính giá trị của biểu thức:

sin60° – cos60°.tan60°.

Tính:

a) sin61° – cos29°;

b) cos15° – sin75°;

c) tan28° – cot62°;

d) cot47° – tan43°.

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 7).

a) Tổng số đo của góc B và góc C bằng bao nhiêu?

b) Viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

c) Mỗi tỉ số lượng giác của góc B bằng tỉ số lượng giác nào góc C?

Cho tam giác MNP vuông tại M, MN = 3 cm, MP = 4 cm. Tính độ dài cạnh NP và các tỉ số lựợng giác của góc P.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=\alpha$ (Hình 2).

a) Cạnh góc vuông nào là cạnh đối của góc B?

b) Cạnh góc vuông nào là cạnh kề của góc B?

c) Cạnh nào là cạnh huyền?

Cho góc nhọn $\widehat{xBy}=\alpha .$ Xét tam giác ABC vuông tại A, tam giác A’BC’ vuông tại A’ với A, A’ thuộc tia Bx và C, C’ thuộc tia By (Hình 1). Do ∆ABC ᔕ ∆A’BC’ nên $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B{C}^{\text{'}}}.$

Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối AC của góc nhọn α và cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC không phụ thuộc vào việc chọn tam giác vuông đó.

Tỉ số $\frac{AC}{BC}$ có mối liên hệ như thế nào với độ lớn góc α?

Áp suất $P\left(\mathrm{l}b/i{n}_{}^2\right)$ cần thiết để ép nước qua một ống dài $L\left(ft\right)$ và đường kính $d\left(in\right)$ với tốc độ $v\left(ft/s\right)$ được cho bởi công thức: $P=0,00161.\frac{v_{}^{2}L}{d}$.

a. Hãy tính v theo P, L và d.

b. Cho $P=198,5;L=11560;d=6$. Hãy tính tốc độ v (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của feet trên giây).

Biết rằng$1in=2,54cm;1ft\left(feet\right)=0,3048m;1lb\left(pound\right)=0,45359237kg;$

$1lb/i{n}_{}^2=6894,75729Pa\left(Pascal\right)$.

Khi bay vào không gian, trọng lượng P(N) của một phi hành gia ở vị trí cách mặt đất một độ cao h(m) được tính theo công thức: $P=\frac{{28014.10}_{}^{12}}{{\left({64.10}_{}^5+h\right)}_{}^2}$.

a. Trọng lượng của phi hành gia là bao nhiêu Newton khi cách mặt đất 10 000 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

b. Ở độ cao bao nhiêu mét thì trọng lượng của phi hành gia là 619N (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Ngày 28/9/2018, sau trận động đất 7,5 độ Richter, cơn sóng thần (Tiếng Anh là Tsunami) cao hơn 6m đã tràn vào đảo Sulawesicuar (Indonesia) và tàn phá thành phố Palu gây thiệt hại vô cùng to lớn. Tốc độ cơn sóng thần v (m/s) và chiều sâu đại dương d (m) của nơi bắt đầu sóng thần liên hệ bởi công thức $v=\sqrt{dg}$, trong đó $g=9,81m/s_{}^2$.

a. Hãy tính tốc độ cơn sóng thần xuất phát từ Thái Bình Dương, ở độ sâu trung bình 400m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét trên giây).

b. Theo tính toán của các nhà khoa học địa cất, tốc độ cơn sóng thần ngày 28/9/2018 là 800km/h, hãy tính chiều sâu đại dương của nơi tâm chấn động đất gây ra sóng thần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Cho biểu thức: $N=\frac{x\sqrt{x}+8}{x-4}-\frac{x+4}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,x\ne 4$.

a. Rút gọn biểu thức N.

b. Tính giá trị của biểu thức tại $x=9$.

Cho biểu thức: $M=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với $a>0,b>0$.

a. Rút gọn biểu thức M.

b. Tính giá trị của biểu thức tại $a=2,b=8$.

So sánh:

a. $2\sqrt{3}$ và $3\sqrt{2}$;

b. $7\sqrt{\frac{3}{7}}$ và $\sqrt{2}.\sqrt{11}$;

c. $\frac{2}{\sqrt{5}}$ và $\frac{6}{\sqrt{10}}$.