Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}-2};$

b) $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-2\right)}^2}-\sqrt{63}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}};$

c) $\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}}{2\sqrt{12}};$

d) $\frac{\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^3}-1}{\sqrt{50}}.$

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{27x^3-27x^2+9x-1}$ tại $x=7.$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^3};$

b) $\sqrt[3]{{\left(2\sqrt{2}+1\right)}^3};$

c) ${\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}\right)}^3.$

Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730d{m}^3.$ Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu dm?

Sử dụng MTCT, tính các căn bậc ba sau đây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) :

a) $\sqrt[3]{2,1};$

b) $\sqrt[3]{-18};$

c) $\sqrt[3]{-28};$

d) $\sqrt[3]{0,35}.$

Tính:

a) $\sqrt[3]{216};$

b) $\sqrt[3]{-512};$

c) $\sqrt[3]{-0,001};$

d) $\sqrt[3]{1,331}.$

a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x-1}$ tại $x=0$ và tại $x=-1,4.$

b) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x-1}.$

Có thể xếp 125 khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng 1 cm) thành một khối lập phương lớn không?

Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005.

Tính:

a) $\sqrt[3]{125};$

b) $\sqrt[3]{0,008};$

c) $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}.$

Kí hiệu V là thể tích của hình lập phương với cạnh x. Hãy thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{3-\sqrt{x}}\right)\left(x\ge 0,x\ne 9\right).$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}};$

b) $\frac{5\sqrt{48}-3\sqrt{27}+2\sqrt{12}}{\sqrt{3}};$

c) $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}.$

Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{4+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}};$

b) $\frac{1}{\sqrt{5}-2};$

c) $\frac{3+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}};$

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.$

Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a.\sqrt{\frac{3}{5}};$

b) $-3x.\sqrt{\frac{5}{x}}\left(x>0\right);$

c) $-\sqrt{\frac{3a}{b}}\left(a\ge 0,b>0\right).$

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{2};$

b) $-2\sqrt{7};$

c) $4\sqrt{\frac{15}{2}};$

d) $-5\sqrt{\frac{16}{5}}.$

Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$ trong đó $m_0$ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo $m_0$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ $v=\frac{1}{10}c.$

Rút gọn biểu thức sau:

$\left(\frac{\sqrt{22}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right).$

Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\frac{-5\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{3}};$

b) $\frac{a^2-2a}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}\left(a\ge 0,a\ne 2\right).$

Cho hai biểu thức $\frac{-2}{\sqrt{3}+1}$ và $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$ Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:

a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{3a}{2\sqrt{2}}$ với $\sqrt{2}$ và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{5};$

b) $-2\sqrt{7}.$

Tính và so sánh:

a) $5.\sqrt{4}$ với $\sqrt{5^2.4};$

b) $-5.\sqrt{4}$ với $-\sqrt{{\left(-5\right)}^2.4}$

Vuông làm: $\sqrt{{\left(-2\right)}^2.5}=-2\sqrt{5}$

Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{3}{5}}.$

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12};$

b) $3\sqrt{27};$

c) $5\sqrt{48}.$

Tính và so sánh $\sqrt{{\left(-3\right)}^2.25}$ với $\left|-3\right|.\sqrt{25}$

Trong Vật lí, tốc độ (m/s) của một vật đang bay được cho bởi công thức $v=\sqrt{\frac{2E}{m}},$ trong đó E là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là J) và m (kg) là khối lượng của vật (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

Tính tốc độ bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng 2,5 kg và động năng 281,25 J.

Cho căn thức $\sqrt{x^2-4x+4}.$

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Rút gọn căn thức đã cho với $x\ge 2.$

c) Chứng tỏ rằng với mọi $x\ge 2,$ biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}$ có giá trị không đổi.

Chứng minh rằng:

a) ${\left(1-\sqrt{2}\right)}^2=3-2\sqrt{2};$

b) ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2=5+2\sqrt{6}.$

Thực hiện phép tính:

a) $\sqrt{3}.\left(\sqrt{192}-\sqrt{75}\right);$

b) $\frac{-3\sqrt{18}+5\sqrt{50}-\sqrt{128}}{7\sqrt{2}}.$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{7}+3\right)}^2}.$

Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại ti vi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4:3.

a) Gọi x (inch) là chiều rộng của màn hình tivi. Viết công thức tính độ dài đường chéo d (inch) của màn hình ti vi theo x.

b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimet) của màn hình ti vi loại 40 inch.

Rút gọn $\frac{-3\sqrt{16a}+5a\sqrt{16a{b}^2}}{2\sqrt{a}}$ (với $a>0,b>0).$

Tính:

a) $\sqrt{99}:\sqrt{11};$

b) $\sqrt{7,84};$

c) $\sqrt{1815}:\sqrt{15}.$

Rút gọn biểu thức $\sqrt{2\left(a^2-b^2\right)}.\sqrt{\frac{3}{a+b}}$ (với $a\ge b>0$) .

Tính:

a) $\sqrt{12}.\left(\sqrt{12}+\sqrt{3}\right);$

b) $\sqrt{8}.\left(\sqrt{50}-\sqrt{2}\right);$

c) ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}.$

Công suất P (W) , hiệu điện thế U(V) , điện trở R(Ω) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức $U=\sqrt{PR}.$ Nếu công suất tăng lên 8 lần, điện trở giảm 2 lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?