Câu hỏi:
302 lượt xemCho đa thức có là một nghiệm.
Xác định , , biết số nhỏ hơn số một đơn vị và đa thức chia hết cho .
Hướng dẫn giải:
Do số nhỏ hơn số một đơn vị nên ta có .
Theo đề, ta có là một nghiệm của đa thức , suy ra .
Khi đó , do đó .
Thay vào ta được:
Do chia hết cho nên với là thương của phép chia cho .
Ta có , hay .
Khi đó
Thế và vào , ta được:
.
Suy ra , do đó .
Với , ta có và .
Vậy ; và .
Lưu ý: Với dữ kiện đa thức chia hết cho , ta cũng có thể suy ra điều kiện bằng cách đặt tính chia đa thức cho đa thức như sau:
Để đa thức chia hết cho , thì .
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Do số \(a\) nhỏ hơn số \(c\) một đơn vị nên ta có \(a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)\).
Theo đề, ta có \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), suy ra \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\).
Khi đó \(P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0\), do đó \(b = - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(b = - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Do \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia \(P\left( x \right)\) cho \(x - 3\).
Ta có \(P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0\), hay \(P\left( 3 \right) = 0\).
Khi đó \(9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Thế \(a = c - 1\) và \(b = - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\) vào \(\left( * \right)\), ta được:
\[9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0\].
Suy ra \(\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}\), do đó \(c = 3\).
Với \(c = 3\), ta có \(a = 3 - 1 = 2\) và \(b = - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} = - 7\).
Vậy \(a = 2\); \(b = - 7\) và \(c = 3\).
Lưu ý: Với dữ kiện đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\), ta cũng có thể suy ra điều kiện \(\left( * \right)\) bằng cách đặt tính chia đa thức \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 3\) như sau:
Để đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\), thì \(9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)\).
Cho hình vẽ bên. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn thẳng