a) $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$

             $= \left( {\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right){x^3} + \left( {4 + 7} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{5}} \right)x - 1 + 4$

             $= 2{x^3} + 11{x^2} - x + 3$.

b) Bậc của đa thức $A\left( x \right)$ là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức $A\left( x \right)$ là 2.

c) Ta có $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

                    $= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - \left( {2{x^3} + 11{x^2} - x + 3} \right)$

                    $= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - 2{x^3} - 11{x^2} + x - 3$

                    $= {x^2} - 2x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó ${x^2} - 2x = 0$

           $x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;2} \right\}$.

Gọi $$a$$, $b$, $c$ (quyển vở) lần lượt là số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được.

Theo đề, ta có tổng số quyển vở lớp $7A$ và $7B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7C$ là 62 quyển, suy ra $a + b - c = 62$.

Do số quyển vở mỗi lớp quyên góp được tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó nên:

$\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

 $\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}} = \frac{{a + b - c}}{{32 + 35 - 36}} = \frac{{62}}{{31}} = 2$.

Suy ra $a = 32.2 = 64$; $b = 35.2 = 70$; $c = 36.2 = 72$.

Vậy số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được lần lượt là 64 quyển vở; 70 quyển vở và 72 quyển vở.

Do số $a$ nhỏ hơn số $c$ một đơn vị nên ta có $a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)$.

Theo đề, ta có $x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$, suy ra $P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0$.

Khi đó $P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$, do đó $b =  - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)$.

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được: $b =  - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c =  - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)$

Do $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$ nên $P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)$ với $Q\left( x \right)$ là thương của phép chia $P\left( x \right)$ cho $x - 3$.

Ta có $P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0$, hay $P\left( 3 \right) = 0$.

Khi đó $9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)$

Thế $a = c - 1$ và $b =  - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}$ vào $\left( * \right)$, ta được:

$$9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0$$.

Suy ra $\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}$, do đó $c = 3$.

Với $c = 3$, ta có $a = 3 - 1 = 2$ và $b =  - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} =  - 7$.

Vậy $a = 2$; $b =  - 7$ và $c = 3$.

Lưu ý: Với dữ kiện đa thức $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$, ta cũng có thể suy ra điều kiện $\left( * \right)$ bằng cách đặt tính chia đa thức $P\left( x \right)$ cho đa thức $x - 3$ như sau:

Để đa thức $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$,  thì $9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)$.