a) $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$

             $= \left( {\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right){x^3} + \left( {4 + 7} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{5}} \right)x - 1 + 4$

             $= 2{x^3} + 11{x^2} - x + 3$.

b) Bậc của đa thức $A\left( x \right)$ là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức $A\left( x \right)$ là 2.

c) Ta có $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

                    $= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - \left( {2{x^3} + 11{x^2} - x + 3} \right)$

                    $= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - 2{x^3} - 11{x^2} + x - 3$

                    $= {x^2} - 2x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó ${x^2} - 2x = 0$

           $x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;2} \right\}$.

a) Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

$\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ$;

$OA = OB$ (giả thiết);

$\widehat {AOB}$ là góc chung.

Do đó $\Delta OAE = \Delta OBF$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $OE = OF$ (cặp cạnh tương ứng).

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta EIF$, ta được: $EF < EI + IF$.

Mà $2EM = EF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$).

Suy ra $2EM < EI + IF$.

Vậy $EM < \frac{{EI + IF}}{2}$.

c) Xét $\Delta OEF$ có hai đường cao $FB$ và $AE$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta OEF$.

Do đó $OI \bot EF\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta OEM$ và $\Delta OFM$, có:

$OM$ là cạnh chung;

$ME = MF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$);

$OE = OF$ (câu a).

Do đó $\Delta OEM = \Delta OFM\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $\widehat {OME} = \widehat {OMF}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Khi đó $\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ$ hay $OM \bot EF\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$, suy ra ba điểm $O$, $I$, $M$ thẳng hàng.

Do số $a$ nhỏ hơn số $c$ một đơn vị nên ta có $a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)$.

Theo đề, ta có $x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$, suy ra $P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0$.

Khi đó $P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$, do đó $b =  - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)$.

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được: $b =  - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c =  - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)$

Do $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$ nên $P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)$ với $Q\left( x \right)$ là thương của phép chia $P\left( x \right)$ cho $x - 3$.

Ta có $P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0$, hay $P\left( 3 \right) = 0$.

Khi đó $9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)$

Thế $a = c - 1$ và $b =  - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}$ vào $\left( * \right)$, ta được:

$$9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0$$.

Suy ra $\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}$, do đó $c = 3$.

Với $c = 3$, ta có $a = 3 - 1 = 2$ và $b =  - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} =  - 7$.

Vậy $a = 2$; $b =  - 7$ và $c = 3$.

Lưu ý: Với dữ kiện đa thức $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$, ta cũng có thể suy ra điều kiện $\left( * \right)$ bằng cách đặt tính chia đa thức $P\left( x \right)$ cho đa thức $x - 3$ như sau:

Để đa thức $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$,  thì $9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)$.