Cho dãy số (un) với u1 = 2, n ≥ 1. Đặt vn = un + 1

Hướng dẫn giải. a) Ta có vn = un + 1 – un = un+23n−un=23n . Do đó, v1 + v2 + . + vn = 23+232+.+23n=213+132+.+13n =2.1−13n+11−13=31−13n+1. b) Ta có v1 + v2 + . + vn = (u2 – u1) + (u3 – u2) + . + (un + 1 – un) = un + 1 – u1 = un+23n−2=un+23n−2 . Mà theo câu a có v1 + v2 + . + vn = 31−13n+1 . Do đó, un+23n−2=31−13n+1 . Từ đó suy ra un=5−13n−1 . c) Ta có limn→+∞un=limn→+∞5−13n−1=limn→+∞5−13n−1=5

Câu hỏi:

42 lượt xem

Tự luận

Cho dãy số (u_n) với u₁ = 2, $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{2}{3^{n}}$ , n ≥ 1. Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n.

a) Tính v₁ + v₂ + ... + v_n theo n.

b) Tính u_n theo n.

c) Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Xem đáp án

Xem thêm: Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 15: Giới hạn của dãy số

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Ta có v_n = u_{n + 1} – u_n = $(u_{n} + \frac{2}{3^{n}}) - u_{n} = \frac{2}{3^{n}}$ .

Do đó, v₁ + v₂ + ... + v_n = $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + ... + \frac{2}{3^{n}} = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}})$

$= 2. \frac{1 - \frac{1}{3^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$ .

b) Ta có v₁ + v₂ + ... + v_n = (u₂ – u₁) + (u₃ – u₂) + ... + (u_{n + 1} – u_n)

= u_{n +}₁ – u₁ = $(u_{n} + \frac{2}{3^{n}}) - 2 = u_{n} + \frac{2}{3^{n}} - 2$ .

Mà theo câu a có v₁ + v₂ + ... + v_n= $3 (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$ .

Do đó, $u_{n} + \frac{2}{3^{n}} - 2 = 3 (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$ . Từ đó suy ra $u_{n} = 5 - \frac{1}{3^{n - 1}}$ .

c) Ta có

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} (5 - \frac{1}{3^{n - 1}}) = \lim_{n \to + \infty} (5 - {(\frac{1}{3})}^{n - 1}) = 5$

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tự luận

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 1}{2 n^{2} + n + 2}$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2^{n} + 3}{1 + 3^{n}}$ .

Xem đáp án »

6 tháng trước 30 lượt xem

Câu 2:

Tự luận

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2)$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} (2 + n^{2} - \sqrt{n^{4} + 1})$ ;

c) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} - n + 2} + n)$ ;

d) $\lim_{n \to + \infty} (3 n - \sqrt{4 n^{2} + 1})$ .

Xem đáp án »

6 tháng trước 74 lượt xem

Câu 3:

Tự luận

Cho $u_{n} = \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$ với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Xem đáp án »

6 tháng trước 33 lượt xem

Câu 4:

Tự luận

Tính $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1)}{n^{2} + 2 n}$ .

Xem đáp án »

6 tháng trước 41 lượt xem

Câu 5:

Tự luận

Tính tổng $S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5^{2}} + ... + {(- 1)}^{n} \frac{1}{5^{n - 1}}$ + …

Xem đáp án »

6 tháng trước 32 lượt xem

Câu 6:

Tự luận

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Xem đáp án »

6 tháng trước 24 lượt xem

Câu 7:

Tự luận

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{\cos n}{n^{2}}$ . Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Xem đáp án »

6 tháng trước 35 lượt xem

Câu 8:

Tự luận

Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, ..., A_nB_nC_n,... Kí hiệu s_n là diện tích của tam giác A_nB_nC_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

Xem đáp án »

6 tháng trước 39 lượt xem

Câu 10:

Tự luận

Cho dãy số (u_n) có tính chất $(u_{n} - \frac{n}{n + 1}) \leq \frac{1}{n^{2}}$ . Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$

Xem đáp án »

6 tháng trước 38 lượt xem

Câu hỏi:

Lời giải

Hướng dẫn giải:

ĐỀ THI LIÊN QUAN:

Giới thiệu

Liên kết

Chính sách

Kết nối

Câu hỏi:

Lời giải

Hướng dẫn giải:

ĐỀ THI LIÊN QUAN:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM