Tính các giới hạn sau: 

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2+n+2}$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n+3}{1+3^n}$ .

Tính các giới hạn sau: 

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$ ;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$ ;

c) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$ ;

d) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$ .

Cho $u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$ với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$ .

Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n\frac{1}{5^{n-1}}$ + …

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, ..., A_nB_nC_n,... Kí hiệu s_n là diện tích của tam giác A_nB_nC_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

Cho dãy số (u_n) với u₁ = 2, $u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$ , n ≥ 1. Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n.

a) Tính v₁ + v₂ + ... + v_n theo n.

b) Tính u_n theo n.

c) Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Cho dãy số (u_n) có tính chất $\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n^2}$ . Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$