Cho un = 1+a+a^2+...+a^n/1+b+b^2+...+b^n với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính

Hướng dẫn giải. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có. un=1+a+a2+.+an1+b+b2+.+bn=1−an+11−a1−bn+11−b=1−b1−a.1−an+11−bn+1. Do đó,limn→+∞un=limn→+∞1−b1−a.1−an+11−bn+1=1−b1−a(do |a| < 1, |b| < 1).

Cho un = 1+a+a^2+...+a^n/1+b+b^2+...+b^n với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b|

Câu hỏi:

82 lượt xem

Tự luận

Cho $u_{n} = \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$ với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Xem đáp án

Xem thêm: Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 15: Giới hạn của dãy số

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:

$u_{n} = \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}} = \frac{\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}} = \frac{1 - b}{1 - a} . \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - b^{n + 1}}$ .

Do đó, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\frac{1 - b}{1 - a} . \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - b^{n + 1}}) = \frac{1 - b}{1 - a}$ (do |a| < 1, |b| < 1).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tự luận

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 1}{2 n^{2} + n + 2}$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2^{n} + 3}{1 + 3^{n}}$ .

Xem đáp án »

1 năm trước 61 lượt xem

Câu 2:

Tự luận

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2)$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} (2 + n^{2} - \sqrt{n^{4} + 1})$ ;

c) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} - n + 2} + n)$ ;

d) $\lim_{n \to + \infty} (3 n - \sqrt{4 n^{2} + 1})$ .

Xem đáp án »

1 năm trước 123 lượt xem

Câu 4:

Tự luận

Tính $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1)}{n^{2} + 2 n}$ .

Xem đáp án »

1 năm trước 62 lượt xem

Câu 5:

Tự luận

Tính tổng $S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5^{2}} + ... + {(- 1)}^{n} \frac{1}{5^{n - 1}}$ + …

Xem đáp án »

1 năm trước 59 lượt xem

Câu 6:

Tự luận

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Xem đáp án »

1 năm trước 52 lượt xem

Câu 7:

Tự luận

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{\cos n}{n^{2}}$ . Tính $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

Xem đáp án »

1 năm trước 62 lượt xem

Câu 8:

Tự luận

Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, ..., A_nB_nC_n,... Kí hiệu s_n là diện tích của tam giác A_nB_nC_n.