Câu hỏi:
54 lượt xemCho cân tại ( và ). Kẻ là tia phân giác của (). Trên cạnh lấy điểm sao cho .
a) Chứng minh , từ đó suy ra .
b) So sánh và .
Hướng dẫn giải:
a) Xét và , có:
(giả thiết);
(do là tia phân giác của );
là cạnh chung.
Do đó (c.g.c).
Suy ra (cặp cạnh tương ứng).
b) Ta có (do ).
Mà nên .
Mà (hai góc kề bù).
Do đó .
có nên là góc tù, do đó là cạnh lớn nhất trong tam giác.
Suy ra .
Lại có (câu a) nên .
c) • Ta có nên
có nên cân tại .
Suy ra đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường cao của .
Hay là đường phân giác của .
Mà là đường phân giác của (giả thiết)
Do đó ba điểm , , thẳng hàng.
• Khi ta có
Xét có và cắt nhau tại
Do đó là trực tâm của .
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\), có:
\[AB = BE\] (giả thiết);
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\));
\(BD\) là cạnh chung.
Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c).
Suy ra \(AD = DE\) (cặp cạnh tương ứng).
b) Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BED}\) (do \(\Delta ABD = \Delta EBD\)).
Mà \(\widehat {BAD} < 90^\circ \) nên \(\widehat {BED} < 90^\circ \).
Mà \(\widehat {BED} + \widehat {DEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).
Do đó \(\widehat {DEC} > 90^\circ \).
\(\Delta DEC\) có \(\widehat {DEC} > 90^\circ \) nên là góc tù, do đó \(DC\) là cạnh lớn nhất trong tam giác.
Suy ra \(DC > DE\).
Lại có \(AD = DE\) (câu a) nên \(DC > AD\).
c) • Ta có \(AB = EB,AF = EC\) nên \(BF = BC\)
\(\Delta BFC\) có \(BF = BC\) nên cân tại \(B\).
Suy ra đường trung tuyến \(BK\) đồng thời là đường phân giác, đường cao của \(\Delta BFC\).
Hay \(BK\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).
Mà \(BD\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (giả thiết)
Do đó ba điểm \(B\), \(D\), \(K\) thẳng hàng.
• Khi \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) ta có \(DA \bot BA\)
Xét \(\Delta DFC\) có \(FB \bot DC,BK \bot FC\) và \(FB,BK\) cắt nhau tại \(B\)
Do đó \(B\) là trực tâm của \(\Delta DFC\).