a) $A\left( x \right) = \frac{5}{6}{x^3} - \frac{{12}}{7}{x^2} + 5x + \frac{5}{7}{x^2} + \frac{1}{6}{x^3} - 3x + 9$

             $= \left( {\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \right){x^3} + \left( { - \frac{{12}}{7} + \frac{5}{7}} \right){x^2} + \left( {5 - 3} \right)x + 9$

             $= {x^3} - {x^2} + 2x + 9$.

b) Hệ số tự do của đa thức $A\left( x \right)$ là 9.

Ta có $A\left( 2 \right) = {2^3} - {2^2} + 2.2 + 9 = 17$.

c) Ta có $A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

                    $= {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - \left( {{x^3} - {x^2} + 2x + 9} \right)$

                    $= {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - {x^3} + {x^2} - 2x - 9$

                    $=  - {x^2} + 7x - 12$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó $- {x^2} + 7x - 12 = 0$

           $- {x^2} + 4x + 3x - 12 = 0$

           $- x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right) = 0$

           $\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = 0$

Suy ra $x = 3$ hoặc $x = 4$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {3;4} \right\}$.

Gọi $x$, $y$, $z$ $\left( {{\rm{kg}}} \right)$lần lượt là số kilôgam giấy vụn các chi đội $7A$, $7B$, $7C$ thu gom được.

Do ba chi đội thu gom được tất cả $180\,\,{\rm{kg}}$ giấy vụn nên ta có $x + y + z = 180$.

Do số kg giấy vụn của chi đội $7A$, $7B$, $7C$ lần lượt tỉ lệ thuận với $6;5;4$ nên:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

 $\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{{180}}{{15}} = 12$.

Với $\frac{x}{6} = 12$, ta có $x = 6.12 = 72$.

Với $\frac{y}{5} = 12$, ta có $y = 5.12 = 60$.

Với $\frac{z}{4} = 12$, ta có $z = 4.12 = 48$.

Vậy số kilôgam giấy vụn các chi đội $7A$, $7B$, $7C$ thu gom được lần lượt là $72\,\,{\rm{kg}}$; ${\rm{60}}\,\,{\rm{kg}}$ và $48\,\,{\rm{kg}}$.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Để $2{x^5} + {x^4} + 3{x^3} - 4{x^2} - 14x + m + 1$ chia hết cho đa thức ${x^2} - 2$ thì $m - 3 = 0$

Do đó $m = 3$.

Vậy $m = 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.