
a) Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC (do BD;CE là đường trung tuyến).
Suy ra BG=32BD;CG=32CE mà BD=CE nên BG=CG.
Lại có: BD=BG+GD; CE=CG+GE nên GD=GE.
Xét tam giác EGB và tam giác DGC có:
BG=GC (chứng minh trên)
BGE=CGD (hai góc đối đỉnh)
GD=GE (chứng minh trên)
Do đó, ΔEGB=ΔDGC (c.g.c)
Suy ra, EB=CD (hai cạnh tương ứng)
Mà E là trung điểm của AB; D là trung điểm của AC.
Do đó, AB=AC(AB=2EB;AC=2CD).
Kéo dài AG cắt BC tại H.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC (ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy).
Do đó, H là trung điểm của BC nên BH=HC.
Xét ΔAHB và ΔAHC có:
AB=AC (chứng minh trên)
BH=HC (chứng minh trên)
Cạnh AH chung
Do đó, ΔAHB=ΔAHC (c.c.c)
Suy ra, AHB=AHC (hai góc tương ứng)
Mà AHB+AHC=180∘, do đó AHB=AHC=90∘.
Suy ra AH⊥BC hay AG⊥BC (đpcm)
b) Xét tam giác AMB có: MA+MB>AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét tam giác AMC có: AM+MC>AC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Xét tam giác BMC có: MB+MC>BC (bất đẳng thức tam giác) (3)
Cộng vế theo vế (1); (2); (3) ta được:
MA+MB+MA+MC+MB+MC>AB+AC+BC
Suy ra, 2MA+2MB+2MC>AB+AC+BC
Hay 2(MA+MB+MC)>AB+AC+BC.
Do đó MA+MB+MC>2AB+AC+BC (đpcm)