a) $\frac{4}{5} = \frac{{ - 16}}{x}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

$4x = \left( { - 16} \right)\,\,.\,\,5$

$4x =  - 80$

$x = \left( { - 80} \right):4$

$x =  - 20$

Vậy $x =  - 20$.

b) $\frac{{\left| {x - 5} \right|}}{{28}} = \frac{3}{7}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$$\left| {x - 5} \right|\,\,.\,\,7 = 3\,\,.\,\,28$$

$$\left| {x - 5} \right|\,\,.\,\,7 = 84$$

$\left| {x - 5} \right| = 84:7$

$\left| {x - 5} \right| = 12$

Trường hợp 1: $x - 5 = 12$

$x = 12 + 5$

$x = 17$

Trường hợp 2: $x - 5 =  - 12$

$x =  - 12 + 5$

$x =  - 7$

Vậy $x \in \left\{ {17;\,\, - 7} \right\}$.

c) $\frac{{2x - 1}}{{ - 9}} = \frac{{ - 25}}{{2x - 1}}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$\left( {2x - 1} \right)\,\,.\,\,\left( {2x - 1} \right) = \left( { - 9} \right)\,\,.\,\,\left( { - 25} \right)$

${\left( {2x - 1} \right)^2} = 225$

${\left( {2x - 1} \right)^2} = {15^2} = {\left( { - 15} \right)^2}$

Trường hợp 1: $2x - 1 = 15$

$2x = 16$

$x = 8$

Trường hợp 2: $2x - 1 =  - 15$

$2x =  - 14$

$x =  - 7$

Vậy $$x \in \left\{ {8;\,\, - 7} \right\}$$.

Gọi $z;\,\,y;\,\,z$ (quyển sách) lần lượt là số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được$\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z \in \mathbb{N}} \right)$.

Vì tổng số sách lớp 7A và 7B góp được hơn số sách lớp 7C góp được là 40 quyển nên $x + y - z = 40$.

Mặt khác, số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được tỉ lệ thuận với $6;\,\,4;\,\,5$ nên ta có: $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{40}}{5} = 8$

Ta có: $\frac{x}{6} = 8$ nên $x = 8\,\,.\,\,6 = 48$ (thỏa mãn);

$\frac{y}{4} = 8$ nên $y = 8\,\,.\,\,4 = 32$ (thỏa mãn);

$\frac{z}{5} = 8$ nên $z = 8\,\,.\,\,5 = 40$ (thỏa mãn)

Vậy số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được lần lượt là 48 quyển; 32 quyển; 40 quyển.

Chứng minh: $MA + MB + MC > \frac{{AB + BC + AC}}{2}$.

a) $A(x) = 5{x^3} + 2{x^4} - {x^2} + 3{x^2} - {x^3} - 2{x^4} + 1 - 4{x^3}$

$= \left( {2{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {5{x^3} - {x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 3{x^2}} \right) + 1$

$= 0 + 0 + 2{x^2} + 1$$= 2{x^2} + 1$.

Vậy thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến ta được $A(x) = 2{x^2} + 1.$

b) Ta có: Để đa thức có nghiệm thì $A\left( x \right) = 0$ hay $2{x^2} + 1 = 0$

Do đó, $2{x^2} =  - 1$ hay ${x^2} = \left( { - 1} \right):2 = \frac{{ - 1}}{2}$.

Mà ${x^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, ${x^2} = \frac{{ - 1}}{2}$ (vô lí)

Vậy đa thức $A\left( x \right) = 2{x^2} + 1$ không có nghiệm.

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Suy ra $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}}$, ta được:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$   (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}}$, ta được:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$.

Do đó $\frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}}$ (đpcm).