Gọi $z;\,\,y;\,\,z$ (quyển sách) lần lượt là số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được$\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z \in \mathbb{N}} \right)$.

Vì tổng số sách lớp 7A và 7B góp được hơn số sách lớp 7C góp được là 40 quyển nên $x + y - z = 40$.

Mặt khác, số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được tỉ lệ thuận với $6;\,\,4;\,\,5$ nên ta có: $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{40}}{5} = 8$

Ta có: $\frac{x}{6} = 8$ nên $x = 8\,\,.\,\,6 = 48$ (thỏa mãn);

$\frac{y}{4} = 8$ nên $y = 8\,\,.\,\,4 = 32$ (thỏa mãn);

$\frac{z}{5} = 8$ nên $z = 8\,\,.\,\,5 = 40$ (thỏa mãn)

Vậy số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được lần lượt là 48 quyển; 32 quyển; 40 quyển.

Chứng minh: $MA + MB + MC > \frac{{AB + BC + AC}}{2}$.

a) $A(x) = 5{x^3} + 2{x^4} - {x^2} + 3{x^2} - {x^3} - 2{x^4} + 1 - 4{x^3}$

$= \left( {2{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {5{x^3} - {x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 3{x^2}} \right) + 1$

$= 0 + 0 + 2{x^2} + 1$$= 2{x^2} + 1$.

Vậy thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến ta được $A(x) = 2{x^2} + 1.$

b) Ta có: Để đa thức có nghiệm thì $A\left( x \right) = 0$ hay $2{x^2} + 1 = 0$

Do đó, $2{x^2} =  - 1$ hay ${x^2} = \left( { - 1} \right):2 = \frac{{ - 1}}{2}$.

Mà ${x^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, ${x^2} = \frac{{ - 1}}{2}$ (vô lí)

Vậy đa thức $A\left( x \right) = 2{x^2} + 1$ không có nghiệm.

a) Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (do $BD;\,\,CE$ là đường trung tuyến).

Suy ra $BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$ mà $BD = CE$ nên $BG = CG$.

Lại có: $BD = BG + GD$; $CE = CG + GE$ nên $GD = GE$.

Xét tam giác $EGB$ và tam giác $DGC$ có:

$BG = GC$ (chứng minh trên)

$\widehat {BGE} = \widehat {CGD}$ (hai góc đối đỉnh)

$GD = GE$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta EGB = \Delta DGC$ (c.g.c)

Suy ra, $EB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $E$ là trung điểm của $AB$; $D$ là trung điểm của $AC$.

Do đó, $AB = AC\,\,\left( {AB = 2EB;\,\,AC = 2CD} \right)$.

Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $H$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $AH$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ (ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy).

Do đó, $H$ là trung điểm của $BC$ nên $BH = HC$.

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:

$AB = AC$ (chứng minh trên)

$BH = HC$ (chứng minh trên)

Cạnh $AH$ chung

Do đó, $\Delta AHB = \Delta AHC$ (c.c.c)

Suy ra, $\widehat {AHB} = \widehat {AHC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ$, do đó $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$.

Suy ra $AH \bot BC$ hay $AG \bot BC$ (đpcm)

b) Xét tam giác $AMB$ có: $MA + MB > AB$ (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Xét tam giác $AMC$ có: $AM + MC > AC$ (bất đẳng thức tam giác)          (2)

Xét tam giác $BMC$ có: $MB + MC > BC$ (bất đẳng thức tam giác)          (3)

Cộng vế theo vế (1); (2); (3) ta được:

$MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC$

Suy ra, $2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC$

Hay $2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + AC + BC$.

Do đó $MA + MB + MC > \frac{{AB + AC + BC}}{2}$ (đpcm)

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Suy ra $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}}$, ta được:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$   (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}}$, ta được:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$.

Do đó $\frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}}$ (đpcm).