a) Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên ta có: $BA = AC$.

Và: $\widehat {BAH} + \widehat {KAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ$.

Tam giác $\Delta KAC$ vuông tại $K$ nên ta có:

$\widehat {KAC} + \widehat {KCA} = 180^\circ  - \widehat {AKC} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {ACK}$ (cùng phụ với $\widehat {KAC}$)

Xét hai tam giác vuông $\Delta BAH$ và $\Delta ACK$ có:

$BA = AC$ (cmt)

$\widehat {BAH} = \widehat {ACK}$ (cmt)

Do đó $\Delta BAH = \Delta ACK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $BH = AK$ (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $M$ là trung điểm nên đường trung tuyến $AM$ cũng là đường cao.

Xét tam giác $\Delta ADC$ có $CK$ và $AM$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của tam giác $\Delta ADC$.

Nên $DI$ cũng là đường cao của tam giác $\Delta ADC$.

Suy ra $DI \bot AC$ (đpcm).

c) $\widehat {BAH} = \widehat {ACK}$ (cmt)

Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến cũng là đường phân giác.

Khi đó $\widehat {BAH} + \widehat {HAM} = \widehat {BAM} = 45^\circ$ và $\widehat {ACK} + \widehat {KCM} = \widehat {ACM} = 45^\circ$.

Suy ra $\widehat {HAM} = \widehat {KCM}$

$\Delta BAH = \Delta ACK$ (cmt)

Suy ra $AH = CK$ (hai cạnh tương ứng).

Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên ta có: $AM = CM = \frac{{BC}}{2}.$

• Xét hai tam giác vuông $\Delta AMH$ và $\Delta CMK$ có:

$AM = CM$ (cmt)

$\widehat {HAM} = \widehat {KCM}$ (cmt)

$AH = CK$ (cmt)

Do đó $\Delta AMH = \Delta CMK$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AHM} = \widehat {CKM}$ (hai góc tương ứng); $MH = MK$ (hai cạnh tương ứng).

Suy ra tam giác $\Delta MHK$ cân tại $M$.

Do đó $\widehat {MHK} = \widehat {MKH}$.

• Ta có: $\widehat {CKH} = 90^\circ$

Hay $\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ$

$\widehat {AHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ$

$\widehat {KHM} + \widehat {MHK} = 90^\circ$

Từ đó $2\,.\,\widehat {MHK} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {MHK} = 45^\circ$

Do đó $\widehat {MKH} = 45^\circ$

• Xét góc $\widehat {CKH}$ có $\widehat {CKH} = 90^\circ$

Hay $\widehat {CKM} + \widehat {MKH} = 90^\circ$ hay$\widehat {CKM} + 45^\circ  = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {CKM} = 45^\circ$ do đó $\widehat {MKH} = \widehat {CKM}$.

Vậy $KM$ là đường phân giác của $\widehat {HKC}$ (đpcm).