Câu hỏi:
145 lượt xemCho tam giác nhọn có đường cao .
a) Chứng minh .
b) Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho . Chứng minh tam giác là tam giác cân.
c) Từ kẻ , từ kẻ . Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\) nên \(\widehat C < \widehat B\).
Mà \(\widehat C = 90^\circ - \widehat {HAC}\) và \(\widehat B = 90^\circ - \widehat {BAH}\).
Do đó \[90^\circ - \widehat {HAC} < 90^\circ - \widehat {BAH}\] hay \(\widehat {HAC} > \widehat {BAH}\).
b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADH\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \);
\(AH\) là cạnh chung;
\(HB = HD\) (giả thiết).
Do đó \(\Delta ABH = \Delta ADH\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).
Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) nên là tam giác cân tại \(A\).
c) Kéo dài \(AH\) và \(CF\) cắt nhau tại \(K\).
Xét \(\Delta AKC\) có \(CH \bot AK,AF \bot CK\), \(CH\) cắt \[AF\] tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\).
Suy ra \(KD \bot AC\)
Mà \(DE \bot AC\) nên ba điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.
