Câu hỏi:

114 lượt xem
Tự luận

Cho đa thức A(x)=ax2+bx+cA\left( x \right) = a{x^2} + bx + c. Biết A(x)A\left( x \right) nhận 1 - 1 làm nghiệm và A(x)A\left( x \right) chia hết cho đa thức x1x - 1. Chứng minh aacc là hai số đối nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Do A(x)A\left( x \right) nhận 1 - 1 làm nghiệm nên ta có A(1)=0A\left( { - 1} \right) = 0

Do đó a.(1)2+b.(1)+c=0a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 0, suy ra ab+c=0    (1)a - b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức A(x)A\left( x \right) cho đa thức x1x - 1 như sau:

Để A(x)A\left( x \right) chia hết cho đa thức x1x - 1 thì c+b+a=0    (2)c + b + a = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)

Từ (1)\left( 1 \right)(2)\left( 2 \right) ta có ab+c=c+b+aa - b + c = c + b + a

Suy ra 2b=02b = 0, nên b=0b = 0.

Thay b=0b = 0 vào (1)\left( 1 \right) ta được a+c=0a + c = 0, do đó a= ca =  - c.

Vậy aacc là hai số đối nhau.

Lưu ý: Với dữ kiện A(x)A\left( x \right) chia hết cho đa thức x1x - 1 ta có thể suy ra điều kiện (2)\left( 2 \right) theo cách sau:

A(x)A\left( x \right) chia hết cho đa thức x1x - 1 nên ta có:

A(x)=(x1).Q(x)A\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).Q\left( x \right) với Q(x)Q\left( x \right) là thương của phép chia đa thức A(x)A\left( x \right) cho đa thức x1x - 1.

Khi đó A(1)=(11).Q(1)=0A\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right).Q\left( 1 \right) = 0 hay A(1)=0A\left( 1 \right) = 0.

Suy ra a+b+c=0a + b + c = 0 (2)\left( 2 \right).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 9:
Tự luận

Tìm xx, biết:

a) x13=12\frac{{x - 1}}{3} = \frac{1}{2};            b) (2x+3)(x+2)=(x4)(2x+1)\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {2x + 1} \right).


1 năm trước 96 lượt xem