Câu hỏi:

146 lượt xem
Tự luận

Cho tam giác ABCABC vuông tại AAC^=60\widehat C = 60^\circ . Tia phân giác góc CC cắt ABAB tại EE. Kẻ EKEK vuông góc với BCBC tại KK.

a) Chứng minh rằng ΔACE=ΔKCE\Delta ACE = \Delta KCEAKCEAK \bot CE.

b) Chứng minh rằng BC=2ACBC = 2ACEB>ACEB > AC.

c) Kẻ BDBD vuông góc với CECE tại DD. Chứng minh ba đường thẳng AC,EK,BDAC,EK,BD đồng quy.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Xét ΔACE\Delta ACEΔKCE\Delta KCE có:

CAE^=CKE^=90\widehat {CAE} = \widehat {CKE} = 90^\circ ;

ECEC là cạnh chung;

ACE^=KCE^\widehat {ACE} = \widehat {KCE} (do CECE là tia phân giác của ACB^\widehat {ACB}).

Do đó ΔACE=ΔKCE\Delta ACE = \Delta KCE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EA=EKEA = EKCA=CKCA = CK (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó CECE là đường trung trực của đoạn thẳng AKAK nên CEAKCE \bot AK.

b) Xét ΔABC\Delta ABC vuông tại AAABC^+ACB^=90\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ

Suy ra ABC^=90 ACB^=30\widehat {ABC} = 90^\circ  - \widehat {ACB} = 30^\circ .

Mặt khác CECE là tia phân giác của ACB^\widehat {ACB} nên ACE^=KCE^=30\widehat {ACE} = \widehat {KCE} = 30^\circ .

ΔBCE\Delta BCEABC^=ECB^=30\widehat {ABC} = \widehat {ECB} = 30^\circ nên là tam giác cân tại EE.

Suy ra EB=ECEB = EC nên EE nằm trên đường trung trực dd của đoạn thẳng BCBC.

Do đó dd đi qua EEdBCd \bot BC

Lại có EKBCEK \bot BC, suy ra EKEK là đường trung trực của đoạn thẳng BCBC.

Khi đó KK là trung điểm của BCBC nên BK=KCBK = KCBC=2KCBC = 2KC

AC=KCAC = KC (câu a) nên BC=2ACBC = 2AC.

Xét ΔBKE\Delta BKE vuông tại KKBEBE là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó BE>BKBE > BKBK=KC=ACBK = KC = AC nên BE>ACBE > AC.

c) Giả sử hai đường thẳng BDBDACAC cắt nhau tại II.

Xét ΔIBC\Delta IBC có hai đường cao BA,CDBA,CD cắt nhau tại EE nên EE là trực tâm của tam giác.

Suy ra IEBCIE \bot BC.

EKBCEK \bot BC nên ba điểm I,E,KI,E,K thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng AC,EK,BDAC,EK,BD đồng quy.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 9:
Tự luận

Tìm xx, biết:

a) x13=12\frac{{x - 1}}{3} = \frac{1}{2};            b) (2x+3)(x+2)=(x4)(2x+1)\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {2x + 1} \right).


1 năm trước 96 lượt xem