a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$(1).

Vì $BD$; $CE$ là đường trung tuyến nên $D$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1); (2) ta suy ra $AE = EB = AD = DC$.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CDB$ có:

$BE = DC$ (chứng minh trên)

Cạnh $BC$ chung

$\widehat {EBC} = \widehat {DCB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta BEC = \Delta CDB$ (g.c.g)

Suy ra $BD = CE$ (hai cạnh tương ứng)  (3)

Vì $G$ là trong tâm tam giác $ABC$ nên $BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$ (4)

Từ (3), (4) suy ra $GB = GC$.

b) $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$, đường thẳng $BP$ cắt $AC$ tại $N$:

Ta có: $AB + AC = AB + AN + NC = \left( {AB + AN} \right) + NC$ (5)

Xét tam giác $ABN$ có: $AB + AN > NB$ (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra, $AB + AN > BP + PN$ (do $NB = BP + PN$)

Do đó, $AB + AN + NC > BP + PN + NC$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra: $AB + AC > BP + PN + NC = BP + \left( {PN + NC} \right)$

Hay $AB + AC > BP + PC$. Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

Do đó, $2AB > PB + PC$.

a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$(1).

Vì $BD$; $CE$ là đường trung tuyến nên $D$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1); (2) ta suy ra $AE = EB = AD = DC$.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CDB$ có:

$BE = DC$ (chứng minh trên)

Cạnh $BC$ chung

$\widehat {EBC} = \widehat {DCB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta BEC = \Delta CDB$ (g.c.g)

Suy ra $BD = CE$ (hai cạnh tương ứng)  (3)

Vì $G$ là trong tâm tam giác $ABC$ nên $BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$ (4)

Từ (3), (4) suy ra $GB = GC$.

b) $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$, đường thẳng $BP$ cắt $AC$ tại $N$:

Ta có: $AB + AC = AB + AN + NC = \left( {AB + AN} \right) + NC$ (5)

Xét tam giác $ABN$ có: $AB + AN > NB$ (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra, $AB + AN > BP + PN$ (do $NB = BP + PN$)

Do đó, $AB + AN + NC > BP + PN + NC$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra: $AB + AC > BP + PN + NC = BP + \left( {PN + NC} \right)$

Hay $AB + AC > BP + PC$. Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

Do đó, $2AB > PB + PC$.