Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

B. Bài tập Các phép biến đổi lượng giác

Bài 2. Cho $\cos 2a=-\frac{4}{5}$, với $\frac{\pi }{4}<a<\frac{\pi }{2}$. Tính sina, cosa, , sin2a, .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{\pi }{4}<a<\frac{\pi }{2}$ nên sina > 0, cosa > 0.

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}=\frac{1+\frac{4}{5}}{2}=\frac{9}{10}$

Suy ra $\sin a=\frac{3}{\sqrt{10}}$ (do sina > 0)

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}=\frac{1-\frac{4}{5}}{2}=\frac{1}{10}$.

Suy ra $\cos a=\frac{1}{\sqrt{10}}$.

• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

$=\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{30}+3\sqrt{10}}{20}$.

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

$\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{5}$.

• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) ${\cos }^{3}x.\sin x-{\sin }^{3}x.\cos x=\frac{1}{4}\sin 4x$;

Hướng dẫn giải

a) VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx

= cosx.sinx.(cos2x – sin2x)

$=\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x$

$=\frac{1}{4}\sin 4x$ = VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4. Tính α + β biết $\tan \alpha =\frac{2}{5},\tan \beta =\frac{3}{7}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được: 

Vậy $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$.