Lý thuyết Khoảng cách (Cánh diều 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách - Cánh diều

A. Lý thuyết Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và điểm $M$ không thuộc $\mathrm{\Delta }$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, kí hiệu $d(M,\mathrm{\Delta })$.

Chú ý: Khi điểm $M$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì $d(M,\mathrm{\Delta })=0.$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(P)$. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(M,(P))$.

Chú ý: Khi điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ thì $d(M,(P))=0.$

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu $d\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}\right)$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}\right)=AB$ với $A\in \mathrm{\Delta }$, $B\in {\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }},AB\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta },AB\mathrm{\perp }{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ và $\mathrm{\Delta }//{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$.

4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ song song với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng $(P)$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(\mathrm{\Delta },(P))$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d(\mathrm{\Delta },(P))=M{M}^{\mathrm{\prime }}=h$, trong đó $M\in \mathrm{\Delta },M^{\mathrm{\prime }}\in (P),M{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\perp }(P)$ và $\mathrm{\Delta }//(P)$.

5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P),(Q)$ là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu $d((P),(Q))$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d((P),(Q))=IK=h$ với $I\in (P),K\in (Q),IK\mathrm{\perp }(P),IK\mathrm{\perp }(Q)$ và $(P)//(Q)$.

6. Khoảng cách giữa hai đưò̀ng thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

- Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu $d(a,b)$.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: $d(a,b)=HK$ với HK là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.

Sơ đồ tư duy Khoảng cách

B. Bài tập Khoảng cách

Đang cập nhật ...