Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị (Cánh diều 2024) Toán 11

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị ngắn gọn, chính xác sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.

1 157 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Nội dung bài viết

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

2. Hàm số tuần hoàn

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

B. Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị - Cánh diều

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = f (x)$ . Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = - f (x)$ . Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\neq$ 0 sao cho với mọi $x \in D$ ta có:

$x + T \in D$ và $x - T \in D$
$f (x + T) = f (x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

Tập xác định là $R$ .

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là $R$ .

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ .

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(k π; π + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

B. Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. $y = \sin x \cos 2 x .$ B. $y = \sin^{3} x . \cos (x - \frac{π}{2}) .$

C. $y = \frac{\tan x}{\tan^{2} x + 1} .$ D. $y = \cos x \sin^{3} x .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

Xét đáp án B, ta có $y = f (x) = \sin^{3} x . \cos (x - \frac{π}{2}) = \sin^{3} x . \sin x = \sin^{4} x$ . Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x .$ B. $y = \cos x .$

C. $y = \tan x .$ D. $y = \cot x .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

- Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

- Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

- Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

- Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.

Câu 3. Tìm chu kì của hàm số $y = \sin (5 x - \frac{π}{4}) .$

A. $T = \frac{2 π}{5} .$ B. $T = \frac{5 π}{2} .$ C. $T = \frac{π}{2} .$ D. $T = \frac{π}{8} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \sin (a x + b)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{|a|}$ .

Áp dụng: Hàm số $y = \sin (5 x - \frac{π}{4})$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{5} .$

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{1 + \sin x}{\cos x - 1} .$

A. $D = ℝ .$ B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{k π, k \in ℤ\} .$ D. $D = ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq k 2 π, k \in ℤ .$

Vậy tập xác định $D = ℝ \ \{k 2 π, k \in ℤ\} .$

Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. $y = \cot 4 x .$ B. $y = \frac{\sin x + 1}{\cos x} .$

C. $y = \tan^{2} x .$ D. $y = |\cot x| .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.

Câu 6. Tìm tập giá trị T của hàm số $y = 3 \cos 2 x + 5.$

A. $T = [- 1; 1] .$ B. $T = [- 1; 11] .$

C. $T = [2; 8] .$ D. $T = [5; 8] .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

$- 1 \leq \cos 2 x \leq 1 → - 3 \leq 3 \cos 2 x \leq 3 → 2 \leq 3 \cos 2 x + 5 \leq 8$

$\to 2 \leq y \leq 8 \to T = [2; 8] .$

Câu 7. Hàm số nào sau đây có chu kì khác $π$ ?

A. $y = \sin (\frac{π}{3} - 2 x) .$ B. $y = \cos 2 (x + \frac{π}{4}) .$

C. $y = \tan (- 2 x + 1) .$ D. $y = \cos x \sin x .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $y = \tan (- 2 x + 1)$ có chu kì $T = \frac{π}{|- 2|} = \frac{π}{2} .$

Nhận xét. Hàm số $y = \cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2 x$ có chu kỳ là $π .$

Câu 8. Hàm số $y = \cos^{2} x + 2 \sin x + 2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $x_{0} = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .$ B. $x_{0} = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .$

C. $x_{0} = π + k 2 π, k \in ℤ .$ D. $x_{0} = k 2 π, k \in ℤ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $y = \cos^{2} x + 2 \sin x + 2 = 1 - \sin^{2} x + 2 \sin x + 2$

$= - \sin^{2} x + 2 \sin x + 3 = - {(\sin x - 1)}^{2} + 4.$

Mà $- 1 \leq \sin x \leq 1 \to - 2 \leq \sin x - 1 \leq 0 \to 0 \leq {(\sin x - 1)}^{2} \leq 4$

$\to 0 \geq - {(\sin x - 1)}^{2} \geq - 4 \to 4 \geq - {(\sin x - 1)}^{2} + 4 \geq 0$ .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 9. Cho hai hàm số $f (x) = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin^{2} 3 x}$ và $g (x) = \frac{|\sin 2 x| - \cos 3 x}{2 + \tan^{2} x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $f (x)$ lẻ và $g (x)$ chẵn. B. $f (x)$ và $g (x)$ chẵn.

C. $f (x)$ chẵn, $g (x)$ lẻ. D. $f (x)$ và $g (x)$ lẻ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

-Xét hàm số $f (x) = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin^{2} 3 x} .$

TXĐ: $D = ℝ$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f (- x) = \frac{\cos (- 2 x)}{1 + \sin^{2} (- 3 x)} = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin^{2} 3 x} = f (x)$ $\to f (x)$ là hàm số chẵn.

-Xét hàm số $g (x) = \frac{|\sin 2 x| - \cos 3 x}{2 + \tan^{2} x}$

TXĐ: $D = ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)\}$ . Do đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $g (- x) = \frac{|\sin (- 2 x)| - \cos (- 3 x)}{2 + \tan^{2} (- x)} = \frac{|\sin 2 x| - \cos 3 x}{2 + \tan^{2} x} = g (x)$ $\to g (x)$ là hàm số chẵn.

Vậy $f (x)$ và $g (x)$ chẵn.

Câu 10. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin^{2} x - 4 \sin x + 5$ . Tính $P = M - 2 m^{2} .$

A. P = 1. B. P = 7. C. P = 8. D. P = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $y = \sin^{2} x - 4 \sin x + 5 = {(\sin x - 2)}^{2} + 1.$

Do $- 1 \leq \sin x \leq 1 \to - 3 \leq \sin x - 2 \leq - 1 \to 1 \leq {(\sin x - 2)}^{2} \leq 9$

$\overset{}{\to} 2 \leq {(\sin x - 2)}^{2} + 1 \leq 10 \overset{}{\to} \{\begin{cases} M = 10 \\ m = 2 \end{cases} P = M - 2 m^{2} = 2.$

Câu 11. Hàm số $y = 5 + 4 \sin 2 x \cos 2 x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $y = 5 + 4 \sin 2 x \cos 2 x = 5 + 2 \sin 4 x$ .

Mà $- 1 \leq \sin 4 x \leq 1 \to - 2 \leq 2 \sin 4 x \leq 2 \to 3 \leq 5 + 2 \sin 4 x \leq 7$

$\to 3 \leq y \leq 7 \overset{y \in ℤ}{\to} y \in (3; 4; 5; 6; 7)$ nên y có 5 giá trị nguyên.

Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = - \sqrt{2} \sin (2016 x + 2017)$ .

A. $m = - 2016 \sqrt{2} .$ B. $m = - \sqrt{2} .$

C. $m = - 1.$ D. $m = - 2017 \sqrt{2} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $- 1 \leq \sin (2016 x + 2017) \leq 1 \to \sqrt{2} \geq - \sqrt{2} \sin (2016 x + 2017) \geq - \sqrt{2} .$

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2} .$

1 157 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị (Cánh diều 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

2. Hàm số tuần hoàn

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

B. Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Giới thiệu

Liên kết

Chính sách

Kết nối

Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị (Cánh diều 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

2. Hàm số tuần hoàn

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

B. Bài tập Hàm số lượng giác và đồ thị

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM