Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (Cánh diều 2024) Toán 11

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản ngắn gọn, chính xác sách Cánh diều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.

1 113 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Nội dung bài viết

A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Cánh diều

A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Khái niệm phương trình tương đương

- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f (x) = 0 \Leftrightarrow g (x) = 0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình $s i n x = m$

Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thoả mãn $\sin α = m$ . Khi đó:

$s i n x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x = \sin α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = 180^{o} - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k π, k \in Z . \\ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \\ \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

3. Phương trình $c o s x = m$

Phương trình $c o s x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $| m | \leq 1$ .

Khi $| m | \leq 1$ sẽ tồn tại duy nhất $α \in [0; π]$ thoả mãn $c o s α = m$ . Khi đó:

$c o s x = m \Leftrightarrow c o s x = c o s α$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x = \cos α^{o} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{o} + k 360^{o} \\ x = - α^{o} + k 360^{o} \end{array} (k \in Z)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l} c o s x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z . \\ c o s x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π, k \in Z . \\ c o s x = - 1 \Leftrightarrow x = π + k 2 π, k \in Z . \end{array}$

4. Phương trình $\tan x = m$

Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thoả mãn $\tan α = m$ . Khi đó:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z .$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x = \tan α^{o} \Leftrightarrow x = α^{o} + k 180^{o}, k \in Z .$

5. Phương trình $\cot x = m$

Phương trình $\cot x = m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m \in R$ , tồn tại duy nhất $α \in (0; π)$ thoả mãn $\cot α = m$ . Khi đó:

$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot α \Leftrightarrow x = α + k π, k \in Z .$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x = \cot α^{o} \Leftrightarrow x = α^{o} + k 180^{o}, k \in Z .$

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$ MODE $\to$ 4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $α$ ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $α$

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 Cánh diều (ảnh 1)

B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x = m có nghiệm.

A. $m \leq 1 .$

B. $m \geq 1 .$

C. $- 1 \leq m \leq 1$ .

D. $m \leq - 1$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với mọi $x \in ℝ$ , ta luôn có $- 1 \leq \sin x \leq 1$ .

Do đó, phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \leq m \leq 1$

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\cot x + \sqrt{3} = 0$ là:

A. $x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

D. $x = - \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\cot x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cot x = - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

Câu 3. Tập nghiệm của phương trình $\sin 2 x = \sin x$ là

A. $S = \{k 2 π; \frac{π}{3} + k 2 π |k \in ℤ\}$ .

B. $S = \{k 2 π; \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3} |k \in ℤ\}$ .

C. $S = \{k 2 π; - \frac{π}{3} + k 2 π |k \in ℤ\}$ .

D. $S = \{k 2 π; π + k 2 π |k \in ℤ\}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

$\sin 2 x = \sin x$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = x + k 2 π \\ 2 x = π - x + k 2 π \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3} \end{array} (k \in ℤ) .$

Câu 4. Phương trình $\sin 2 x = \cos x$ có nghiệm là

A. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

B. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

C. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\sin 2 x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2 x = \sin (\frac{π}{2} - x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 5. Nghiệm của phương trình $\sin 2 x = 1$ là

A. $x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

D. $x = \frac{k π}{2} (k \in ℤ)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\sin 2 x = 1 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$

Câu 6. Phương trình lượng giác $\cos 3 x = \cos 12 °$ có nghiệm là

A. $x = \pm \frac{π}{15} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \pm \frac{π}{45} + \frac{k 2 π}{3} (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{- π}{45} + \frac{k 2 π}{3} (k \in ℤ)$ .

D. $x = \frac{π}{45} + \frac{k 2 π}{3} (k \in ℤ)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\cos 3 x = \cos 12 ° \Leftrightarrow \cos 3 x = \cos \frac{π}{15}$

$\Leftrightarrow 3 x = \pm \frac{π}{15} + k 2 π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{45} + \frac{k 2 π}{3} (k \in ℤ)$

Câu 7. Giải phương trình lượng giác $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \pm \frac{5 π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \pm \frac{5 π}{6} + k 4 π (k \in ℤ)$ .

D. $x = \pm \frac{5 π}{3} + k 4 π (k \in ℤ)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π \Leftrightarrow x = \pm \frac{5 π}{3} + k 4 π (k \in ℤ)$

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos x - m = 0$ vô nghiệm.

A. $m \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ .

B. $m \in (1; + \infty)$ .

C. $m \in [- 1; 1]$ .

D. $m \in (- \infty; - 1)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x = a$ .

-Phương trình có nghiệm khi $|a| \leq 1$ .

-Phương trình vô nghiệm khi $|a| > 1$ .

Phương trình $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$ .

Do đó, phương trình $\cos x = m$ vô nghiệm $\Leftrightarrow |m| > 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$ .

Câu 9. Số nghiệm của phương trình $sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ trên đoạn $[0; π]$ là:

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đặt $x + \frac{π}{4} = α$ . Khi đó ta có phương trình $sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Xét đường thẳng $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và đồ thị hàm số $y = \sin a$ trên đoạn $[0; π]$ :

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ cắt đồ thị số $y = \sin a$ trên đoạn $[0; π]$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $α_{1} = \frac{π}{4}$ và $α_{2} = \frac{3 π}{4}$ .

Mà $x + \frac{π}{4} = α$ , khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị x là $x_{1} = 0$ và $x_{2} = \frac{π}{2}$ .

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\cos 2 x + \sin x + m = 0$ có nghiệm $x \in [- \frac{π}{6}; \frac{π}{4}]$ ?

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\cos 2 x + \sin x + m = 0 \Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - \sin x - m - 1 = 0$

Đặt $t = \sin x$ , điều kiện $t \in [- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$

PT trở thành $2 t^{2} - t - m - 1 = 0 (1)$

YCBT $\Leftrightarrow PT (1)$ có nghiệm thuộc $[- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$ .

Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của parabol $(P) : y = 2 t^{2} - t - 1$ và đường thẳng $d : y = m$ (song song hoặc trùng Ox)

Bảng biến thiên

12 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Dựa vào bảng biến thiên $- \frac{9}{8} \leq m \leq 0$ . Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 1; 0\}$ .

Câu 11. Giải phương trình $\sqrt{3} \tan 2 x - 3 = 0$ .

A. $x = \frac{π}{3} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

B. $x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{6} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

D. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\sqrt{3} \tan 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2 x = \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{3} + k π$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$

Câu 12. Phương trình lượng giác $3 \cot x - \sqrt{3} = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

$3 \cot x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot (\frac{π}{3}) \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π,$ $(k \in ℤ) .$

1 113 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (Cánh diều 2024) Toán 11