Lý thuyết Đơn thức và đa thức nhiều biến (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 8

Nội dung bài viết

Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến - Chân trời sáng tạo

Bài giảng Toán 8 Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Đơn thức và đa thức nhiều biến

1. Đơn thức

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Ví dụ: $1;2xy;-\frac{3}{4}{x}^{2}y(-4x);...$ là các đơn thức.

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ:

$1;2xy;5x^2{y}^{4}z;...$ là các đơn thức thu gọn.

$3x^{2}yx;-\frac{3}{4}{x}^{2}y(-4x);...$ không phải là các đơn thức thu gọn.

Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ: đơn thức $3x^3.y$ có hệ số là 3, phần biến là $x^3.y$.

Tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0 gọi là bậc của đơn thức đó.

Chú ý: + Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

+ Số 0 được gọi là đơn thức không có bậc.

Ví dụ: $2xy$ có bậc là $1+1=2$

$5x^2{y}^{4}z$ có bậc là $2+4+1=7$

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ:

Hai đơn thức $5x^2{y}^{4}z$ và $-\frac{1}{3}{x}^2{y}^{4}z$ có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là hai đơn thức đồng dạng.

Hai đơn thức $5x^2{y}^{4}z$ và $5x{y}^{2}z$ không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng như thế nào?

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}2x^3{y}^2+4x^3{y}^2=6x^3{y}^2\\ 4a{y}^2-3a{y}^2=a{y}^2\end{array}$

2. Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: mỗi đơn thức được gọi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

Số 0 được gọi là đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

Ví dụ: $x^2-4x+3;x^2+3xy{z}^2-yz+1;\left(x+3y\right)+\left(2x--y\right)$ là đa thức.

$\frac{x+y}{x-y},\frac{x^2+2}{x^2-y^2}$ không phải là đa thức.

$x^2-4x+3$ có 3 hạng tử.

$x^2+3xy{z}^2-yz+1$ có 4 hạng tử.

Đa thức thu gọn là gì?

Đa thức thu gọn là đa thức không chưa hai hạng tử nào đồng dạng.

Thu gọn đa thức như thế nào?

Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=x^3-2x^{2}y-x^{2}y+3x{y}^2-y^3\\ =x^3-3x^{2}y-3x{y}^2-y^3\end{array}$

Chú ý: Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

Tính giá trị của đa thức như thế nào?

Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Giá trị của biểu thức $x^2-4xy+3y^2$ tại x = 2, y = 1 là: $2^2-\mathrm{4.2.1}+{3.1}^2=-1$

B. Bài tập Đơn thức và đa thức nhiều biến

Bài 1.Chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau:

$1+\frac{x}{y};2-x;3\text{x}yz;5\sqrt{x};x^{2}y;\frac{1}{3}+x^2+y.$

Hướng dẫn giải

Các đơn thức là: 3xyz; x2y.

Các đa thức gồm:

+ Các đơn thức 3xyz; x2y;

+ Đa thức $\frac{1}{3}+x^2+y$ và 2 – x.

Bài 2.Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức:

a) A = 2x5y + 7xy2 – x5 + x5y – 10.

b) B = x2y2 – 3xy2 + 2x2y2 + 5x2y.

Hướng dẫn giải

a) A = 2x5y + 7xy2 – x5 + x5y – 10

= (2x5y + x5y) + 7xy2 – x5 – 10

= 3x5y + 7xy2 – x5 – 10

Các hạng tử của A lần lượt có bậc là 6; 3; 5; 0

Do đó bậc của A bằng 6.

b) B = x2y2 – 3xy2 + 2x2y2 + 5x2y

= (x2y2 + 2x2y2) – 3xy2 + 5x2y

= 3x2y2 – 3xy2 + 5x2y

Các hạng tử của B lần lượt có bậc là 4; 3; 3

Do đó bậc của A bằng 4.

Bài 3.Tính giá trị của biểu thức A = x – y + z + y3 + x2y – z5 tại x = 5, y = 2, z = –1.

Hướng dẫn giải

Thay x = 5, y = 2, z = – 1 vào đa thức A = x – y + z + y3 + x2y – z5 ta được

A = 5 – 2 + (–1) + 23 + 52 . 2 – (–1)5

= 5 – 2 – 1 + 8 + 25 . 2 + 1

= 61

Vậy A = 61.

Bài 4.Thu gọn các đơn thức sau, chỉ ra phần biến, hệ số của mỗi đơn thức đó.

$\frac{1}{3}x\frac{2}{3}y\frac{4}{3}x\text{z;}–5a^{3}b3cb.$

Hướng dẫn giải

•Ta có 

Đơn thức trên có hệ số là , bậc bằng 2 + 1 + 1 = 4;

•Ta có – 5a3b3cb = (–5 . 3)a3(b . b)c = – 15a3b2c

Đơn thức trên có hệ số là –15, bậc bằng 3 + 2 + 1 = 6.

Bài 5. Có hai bể hình hộp chữ nhật A (đầy nước) và B (bể rỗng) có các kích thước (đơn vị: mét) như hình vẽ.

a) Viết biểu thức biểu thị phần nước còn lại ở bể A sau khi đổ nước từ bể A sang bể B (coi phần nước bị đổ ra ngoài khi đổ từ bể A sang bể B không đáng kể).

b) Khi x = 0,2 (m) và y = 0,5 (m) thì trong bể A còn lại khoảng bao nhiêu lít nước (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải

a) Thể tích bể A là:

3x . 2y . 2x = (3 . 2 . 2)(x . x)y = 12x2y (m3).

Thể tích bể B là:

Phần nước còn lại ở bể A sau khi đổ nước từ bể A sang bể B là:

$12{\text{x}}^{2}y-\frac{8}{3}{\text{x}}^{2}y=\frac{28}{3}{\text{x}}^{2}y$ (m3).

b) Thay x = 0,2 (m) và y = 0,5 (m) vào biểu thức $\frac{28}{3}{\text{x}}^{2}y$ta được:

Vậy trong bể A còn lại khoảng 186,7 lít nước.