Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Ví dụ: ${101}^2=(100+1{)}^2={100}^2+\mathrm{2.100.1}+1^2=10201$

2. Bình phương của một hiệu

${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Ví dụ: ${99}^2=(100-1{)}^2={100}^2-\mathrm{2.100.1}+1^2=9801$

3. Hiệu hai bình phương

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Ví dụ: ${101}^2-{99}^2=(101-99)(101+99)=2.200=400$

4. Lập phương của một tổng

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Ví dụ: ${\left(x+3\right)}^3=x^3+3x^2.3+3x{.3}^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$

5. Lập phương của một hiệu

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Ví dụ: ${\left(x-3\right)}^3=x^3-3x^2.3+3x{.3}^2-3^3=x^3-9x^2+27x-27$

6. Tổng hai lập phương

$A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$

7. Hiệu hai lập phương

$A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3-8=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

Bài 1.Tính nhanh:

a) 982;

b) 45 . 55;

c) 672 – 332.

Hướng dẫn giải

a) 982

= (100 – 2)2

= 1002 – 2 . 100 . 2 + 22

= 10 000 – 400 + 4

= 9 604;

b) 45 . 55

= (50 – 5)(50 + 5)

= 502 – 52

= 2 500 – 25

= 2 475;

c) 672 – 332

= (67 – 33)(67 + 33)

= 34 . 100

= 3 400.

Bài 2.Viết các biểu thức sau thành bình phương hoặc lập phương của một tổng hay một hiệu:

a) 9x2 + 6x + 1;

b) $\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2$

c) x3 – 3x2 + 3x – 1;

d) x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3.

Hướng dẫn giải

a) 9x2 + 6x + 1

= (3x)2 + 2 . 3x . 1 + 12

= (3x + 1)2;

c) x3 – 3x2 + 3x – 1

= (x – 1)3;

d) x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

= x3 + 3.x2.3y + 3.x.(3y)2 + (3y)3

= (x + 3y)3.

Bài 3.Cho x + y = 3, xy = 10. Tính:

a) A = x3 + y3;

b) B = (x – y)2.

Hướng dẫn giải

a) A = x3 + y3

= (x + y)(x2 – xy + y2)

= (x + y)(x2 + 2xy + y2 – 3xy)

= (x + y)[(x + y)2 – 3xy]

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức A ta có

A = 3 . (32 – 3 . 10) = 3 . (9 – 30) = 3 . (–21) = –63.

b) B = (x – y)2

= x2 – 2xy + y2

= x2 + 2xy + y2 – 4xy

= (x + y)2 – 4xy

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức B ta có

B = 32 – 4 . 10 = 9 – 40 = –31.

Bài 4.Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x + 7y)2;

b) (x – 5y)2;

c) (x – 3y)(x + 3y);

d) (2a – b)(4a2 + 2ab + b2);

e) (a – 2)(a2 + 4)(a + 2);

f) (a + 5b)(a2 + 5ab + 25b2);

g) (–x + y)3;

h) (–x – xy)3.

Hướng dẫn giải

a) (3x + 7y)2

= (3x)2 + 2 . 3x . 7y + (7y)2

= 9x2 + 42xy + 49y2;

b) (x – 5y)2

= x2 – 2 . x . 5 y + (5y)2

= x2 – 10xy + 25y2;

c) (x – 3y)(x + 3y)

= x2 – (3y)2

= x2 – 9y2.

d) (2a – b)(4a2 + 2ab + b2)

= (2a – b)[(2a)2 + 2a . b + b2]

= (2a – b)3;

e) (a – 2)(a2 + 4)(a + 2)

= [(a – 2)(a + 2)](a2 + 4)

= (a2 – 4)(a2 + 4)

= (a2)2 – 42

= a4 – 16;

f) (a + 5b)(a2 + 5ab + 25b2)

= (a + 5b)[a2 + a . 5b + (5b)2]

= (a + 5b)3.

g) (–x + y)3

= (–x)3 + 3.(–x)2y + 3(–x).y2 + y3

= –x3 + 3x2y – 3xy2 + y3.

h) (–x – xy)3

= (–x)3 – 3.(–x)2xy + 3.(–x).(xy)2 – (xy)3

= –x3 – 3x3y – 3x3y2 – x3y3.

Bài 5.Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 cm. Thể tích hình lập phương sẽ tăng bao nhiêu nếu các cạnh đều tăng a cm?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương là

V = 3 . 3 . 3 = 27 (cm3)

Khi các cạnh đều tăng thêm a cm thì độ dài các cạnh của hình lập phương là3 + a (cm)

Thể tích hình lập phương mới là

V = (3 + a)(3 + a)(3 + a)

= (3 + a)3

= 33 + 3 . 32 . a + 3 . 3 . a2 + a3

= a3 + 9a2 + 27a + 27 (cm3)

Thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm là

a3 + 9a2 + 27a + 27 – 27 = a3 + 9a2 + 27a (cm3)

Vậy thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm a3 + 9a2 + 27a cm3.

Video bài giảng Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ - Chân trời sáng tạo