Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

A. Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^3+x$ thành nhân tử: $x^3+x=x.x^2+x=x(x^2+1)$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhóm hạng tử như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $xy+3z+xz+3y$ thành nhân tử: 

$$\begin{gathered} xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y) \\ =x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z) \end{gathered}$$

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^2-8x+16$ thành nhân tử: $x^2-8x+16=x^2-2.x.4+4^2=(x-4{)}^2$

B. Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1. Tìm x, biết:

a) (x – 3)2 = (3 + x)2.

b) 1 – 9x2 = (3x + 1)2.

c) x2(x + 8) + x2 = –8x.

d) x2 – 6x + 8 = 0.

Hướng dẫn giải

a) (x – 3)2 = (3 + x)2

(x – 3) – (3 + x)2 = 0

(x – 3 + 3 + x)(x – 3 – 3 – x) = 0

2x.(–6) = 0

2x = 0

x = 0.

Vậy x = 0.

b) 1 – 9x2 = (3x + 1)2

(1 – 3x)(1 + 3x) – (3x + 1)2 = 0

(3x + 1)(1 – 3x – 3x – 1) = 0

(3x + 1)(–6x) = 0

Suy ra 3x + 1 = 0 hoặc –6x = 0

3x = –1 hoặc x = 0

$x=-\frac{1}{3}$ hoặc x = 0.

Vậy .

c) x2(x + 8) + x2 = –8x

x2(x + 8) + x2 + 8x = 0

x2(x + 8) + x(x + 8) = 0

(x + 8)(x2 + x) = 0

(x + 8).x.(x + 1) = 0

Suy ra x + 8 = 0 hoặc x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = – 8 hoặc x = 0 hoặc x = –1.

Vậy x ∈ {–8; 0; –1}.

d) x2 – 6x + 8 = 0.

x2 – 2x – 4x + 8 = 0

x(x – 2) – 4(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 4) = 0

Suy ra x – 2 = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 2 hoặc x = 4.

Vậy x ∈ {2; 4}.

Bài 2.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) xy + 2y2.

b) (x – 1)2 + 3(1 – x).

c) (y + 6)2 – 4.

d) 8x2 + 32xy + 32y2.

e) x5 – x2.

g) x3 – 2x2 + x – 2.

h) x3 – 3y3 + 3x2y – xy2.

Hướng dẫn giải

a) xy + 2y2

= y . x + y . 2y

= y(x + 2y);

b) (x – 1)2 + 3(1 – x)

= (x – 1)(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(x – 1 – 3)

= (x – 1)(x – 4).

c) (y + 6)2 – 4

= (y + 6)2 – 22

= (y + 6 – 2)(y + 6 + 2)

= (y + 4)(y + 8);

d) 8x2 + 32xy + 32y2

= 8(x2 + 4xy + 4y2)

= 8[x2 + 2 . x . 2y + (2y)2]

= 8(x + 2y)2;

e) x5 – x2 = x2 . x 3 – x2

= x2(x3 – 1)

= x2(x – 1)(x2 + x + 1).

g) x3 – 2x2 + x – 2

= (x3 + x) – 2(x2 + 1)

= x(x2 + 1) – 2(x2 + 1)

= (x2 + 1)(x – 2);

h) x3 – 3y3 + 3x2y – xy2

= (x3 – xy2) + (3x2y – 3y3)

= x(x2 – y2) + 3y(x2 – y2)

= (x2 – y2)(x + 3y)

= (x – y)(x + y)(x + 3y).

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi tính các giá trị của nó:

a) A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2023 và b = 2017.

b) B = x2 – 2x + 1 – 4y2 tại x = 51 và y = 25.

c) C = x2 – 3y – 3x + xy tại x = 53 và y = 47.

Hướng dẫn giải

a) A = a(b + 3) – b(3 + b)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2023 và b = 2017 vào biểu thức trên ta được:

A = (2017 + 3)(2023 – 2017)

= 2020 . 6 = 12 120.

b) B = x2 – 2x + 1 – 4y2

= (x2 – 2x + 1) – 4y2

= (x – 1)2 – 4y2

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

Thay x = 51 và y = 25 vào biểu thức trên ta được:

B = (51 – 1 – 2.25)(51 – 1 + 2.25)

= 0.100 = 0.

c) C = x2 – 3y – 3x + xy

= (x2 – 3x) + (xy – 3y)

= x(x – 3) + y(x – 3)

= (x – 3)(x + y)

Thay x = 53 và y = 47 vào biểu thức trên ta được:

C = (53 – 3)(53 + 47) = 50 . 100 = 5 000.

Bài 4.Cho x > 0. Tìm độ dài cạnh hình vuông có diện tích bằng 36x2 + 60x + 25.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông là a (a > 0)

Khi đó diện tích hình vuông là a2

Tức là 36x2 + 60x + 25= a2.

Ta sẽ phân tích đa thức 36x2 + 60x + 25thành nhân tử có dạng a2.

Ta có:

36x2 + 60x + 25 = (6x)2 + 2 . 6x . 5 + 52 = (6x + 5)2

Suy ra a2 = (6x + 5)2

Do đó a = 6x + 5

Vậy độ dài cạnh hình vuông có diện tích bằng 36x2 + 60x + 25 là 6x + 5.

Video bài giảng Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử - Chân trời sáng tạo