Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{0}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.
C. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}$.
D. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ $\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
C. $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$.
D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\frac{a^2}{4}$.
B. $\frac{a^2}{2}$.
C. $\frac{a^2}{3}$.
D. $a^2$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;0;3\right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;-2;5\right)$.
B. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(3;-2;-1\right)$.
C. $3\overrightarrow{a}=\left(3;-2;2\right)$.
D. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(0;-4;7\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có $A\left(-1;0;3\right),B\left(2;1;-1\right)$ và $C\left(3;2;2\right)$. Tọa độ của điểm D là
A. $\left(2;-1;0\right)$.
B. $\left(0;-1;-6\right)$.
C. $\left(0;1;6\right)$.
D. $\left(-2;1;0\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho $A\left(1;0;-1\right),B\left(0;-1;2\right)$ và $G\left(2;1;0\right)$. Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. $\left(5;4;-1\right)$.

B. $\left(-5;-4;1\right)$.

C. $\left(1;2;-1\right)$.

D. $\left(-1;-2;1\right)$

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;2\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
A. $-2$.
B. $-11$.
C. 11.
D. 2.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-1;1\right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. ${60}^0$.
B. ${135}^0$.
C. ${120}^0$.
D. ${45}^0$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(2;-1;3\right),B\left(1;1;-1\right)$ và $C\left(-1;0;2\right)$.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm $A\left(2;3;1\right),C\left(-1;2;3\right)$ và $O^{\prime }\left(1;-2;2\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$.
a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.
b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$.
c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(4;2;-1\right),B\left(1;-1;2\right)$ và $C\left(0;-2;3\right)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.