Câu hỏi:

90 lượt xem
Tự luận

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng

A. a33 .

B. a32 .

C. a63 .

D. a62 .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD, MN.

Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD suy ra AB // (SCD).

Khi đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(M, (SCD)) = 2 . d(O, (SCD)).

Ta có SO  (ABCD) nên SO  CD mà CD  ON (do MN // BC) nên CD  (SON).

Hạ OH  SN tại H, OH  CD (do CD  (SON)) nên OH  (SCD).

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Xét tam giác BCD có ON là đường trung bình nên ON = BC2=a2 .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = AB2+BC2=a2+a2=a2 .

ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, suy ra OC = AC2=a22 .

Xét tam giác SOC vuông tại O có: SO = SC2OC2=a22a24=a22 .

Xét tam giác SON vuông tại O, OH là đường cao, ta có

1OH2=1SO2+1ON2=42a2+4a2=6a2OH=a66.

Vậy d(AB, SD) = 2 . OH = a63 .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ