Câu hỏi:
124 lượt xemCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a . Gọi H là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng SH (ABCD).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
c) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a.
Do tam giác SAB đều cạnh a và H là trung điểm của AB nên SH AB và SH = ; AH = BH = .
Xét tam giác BHC vuông tại B có HC = .
Có ; .
Suy ra SC2 = SH2 + HC2. Do đó tam giác SHC vuông tại H hay SH HC mà SH AB nên SH (ABCD).
b) Ta có .
c) Vì H là trung điểm của AB nên d(A, (SBD)) = 2 . d(H, (SBD)).
Kẻ HK BD tại K, HQ SK tại Q.
Ta có SH (ABCD) nên SH BD mà HK BD nên BD (SHK), suy ra BD HQ.
Vì BD HQ và HQ SK nên HQ (SBD), suy ra d(H, (SBD)) = HQ.
Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = .
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD, suy ra AO = .
Xét tam giác ABO có HK là đường trung bình nên HK = .
Xét tam giác SHK vuông tại H, HQ là đường cao, ta có
.
Vậy d(A,(SBD)) = 2HQ = .
