Câu hỏi:

276 lượt xem
Tự luận

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BAC^=60° , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45°.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ

a) Kẻ AH  BC tại H.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên A'A  (ABC), suy ra A'A  BC mà AH  BC nên BC  (A'AH).

Kẻ AK  A'H tại K, lại có BC  AK (do BC  (A'AH)) nên AK  (A'CB).

Do đó d(A, (A'BC)) = AK.

Có BC  (A'AH) nên BC  A'H mà AH  BC nên góc nhị diện [A', BC, A] bằng AHA'^ , suy ra AHA'^=45° .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có

BC2=AB2+AC2- 2.AB.AC.cosBAC^ = 4a2+9a2-2.2a.3a.cos60o = 7a2.

BC = a7.

Vì SABC=AHBC2AH=SABC2BC =ABACsinBAC^BC

=2a.3a.sin60oa7 = 3217a.

Xét tam giác AHK vuông tại K, có AK = AH . sin45° = 321a722=342a14 .

Vậy d(A, (A'BC)) = 342a14 .

b) Vì tam giác A'AH vuông tại A, AHA'^=45° nên tam giác A'AH vuông cân tại A nên AA' = AH = 3217a.

Ta có: VABC.A'B'C'=SABCAA' = 12.AB.AC.sinBAC^.AA'

12.2a.3a.sin60o.321a7277a314.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ