Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trong tình huống mở đầu, gọi $y_1,y_2,...,y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và thứ phân vị thứ ba $Q_3$ cho mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.

Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:

a) Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?

Chỉ ra rằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Bảng 3.1

Trong tình huống mở đầu, gọi $x_1,x_2,...,x_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc hay không?

b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất $x_i$ có thể nhận là gì?

c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m.
a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(4;2;-1\right),B\left(1;-1;2\right)$ và $C\left(0;-2;3\right)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$.
a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.
b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$.
c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm $A\left(2;3;1\right),C\left(-1;2;3\right)$ và $O^{\prime }\left(1;-2;2\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(2;-1;3\right),B\left(1;1;-1\right)$ và $C\left(-1;0;2\right)$.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-1;1\right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. ${60}^0$.
B. ${135}^0$.
C. ${120}^0$.
D. ${45}^0$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;2\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
A. $-2$.
B. $-11$.
C. 11.
D. 2.

Trong không gian Oxyz, cho $A\left(1;0;-1\right),B\left(0;-1;2\right)$ và $G\left(2;1;0\right)$. Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. $\left(5;4;-1\right)$.

B. $\left(-5;-4;1\right)$.

C. $\left(1;2;-1\right)$.

D. $\left(-1;-2;1\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có $A\left(-1;0;3\right),B\left(2;1;-1\right)$ và $C\left(3;2;2\right)$. Tọa độ của điểm D là
A. $\left(2;-1;0\right)$.
B. $\left(0;-1;-6\right)$.
C. $\left(0;1;6\right)$.
D. $\left(-2;1;0\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;0;3\right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;-2;5\right)$.
B. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(3;-2;-1\right)$.
C. $3\overrightarrow{a}=\left(3;-2;2\right)$.
D. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(0;-4;7\right)$.

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\frac{a^2}{4}$.
B. $\frac{a^2}{2}$.
C. $\frac{a^2}{3}$.
D. $a^2$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$.
D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ $\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
C. $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{0}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.
C. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}$.
D. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; -10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 3m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(1;0;1\right),B\left(0;-3;1\right)$ và $C\left(4;-1;4\right)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}={90}^0$.

c) Tính $\widehat{ABC}$.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-3;0;4\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(6;-1;0\right)$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và $\left(2\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{c}$.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-3;0;4\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(6;-1;0\right)$

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và $\left(2\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{c}$.

Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $\alpha$.

Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của các chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BAC}$

Trong ví dụ 3, tính ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x; y; z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}}; y^{\text{'}}; z^{\text{'}}\right)$

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}. \overrightarrow{k}=0$

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}; \overrightarrow{a}. \overrightarrow{j}; \overrightarrow{a}. \overrightarrow{k}$

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\text{'}}\overrightarrow{i}+y^{\text{'}}\overrightarrow{j}+z^{\text{'}}\overrightarrow{k}$ để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;9;-1\right),B\left(9;4;5\right)$ và $G\left(3;0;4\right)$. Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(x_A;y_A;z_A\right),B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ và $C\left(x_C;y_C;z_C\right)$.

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;8;6\right),\overrightarrow{v}=\left(-1;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{w}=\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$.

Nếu tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là gì?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;0;5\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;3;9\right)$.

a) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.