Câu hỏi:
218 lượt xemCho các số thực dương x, y, z. Ta chứng minh được xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ 5(x + y + z). Dấu bằng xảy ra khi
x = y = z = 2;
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Trong ba số x, y, z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1. Ta giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có:
(x – 1)(y – 1) ≥ 0 ⇔ xy ≥ x + y – 1
Suy ra xyz ≥ xz + yz – z.
Do đó xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ xz + yz – z + 2(x2 + y2 + z2) + 8
Nên ta chứng minh:
xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ≥ 5(x + y + z)
⇔ xz + yz – z + 2(x2 + y2 + z2) + 8 – 5(x + y) – 5z ≥ 0
⇔ f(z) = 2z2 + (x + y – 6)z + 2(x2 + y2) – 5(x + y) + 8 ≥ 0.
Tam thức f(z) có a = 2 > 0 và
Δz = (x + y – 6)2 – 4.2.[ 2(x2 + y2) – 5(x + y) + 8]
= x2 + y2 + 36 + 2xy – 12x – 12y – 8(2x2 + 2y2 – 5x – 5y + 8)
= –15x2 – 15y2 + 2xy + 28x + 28y – 28
= –15x2 + 2(y + 14)x – 15y2 + 28y – 28
Coi Δz là tam thức bậc hai ẩn x, có a = –15 < 0 và
Δx’ = (y + 14)2 – (–15).(–15y2 + 28y – 28)
= y2 + 28y + 196 – 225y2 + 420y – 420
= –224y2 + 448y – 224
= –224(y – 1)2 ≤ 0 với mọi y ∈ ℝ.
Nên Δz ≤ 0 với mọi x, y ∈ ℝ.
Vậy f(z) ≥ 0 với mọi x, y, z ∈ ℝ.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.