Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 5 và x

Hướng dẫn giải. Đáp án đúng là. A Từ điều kiện ta có x2 + y2 = x+y2+x-y22 = 5 – z2 Þ (x + y)2 = 10 – 2z2 – (3 – z)2 Do đó (x + y)2 = 1 + 6z – 3z2 Dễ thấy z ≠ –2. Ta có P(z + 2) + 2 = x + y Do đó [P(z + 2) + 2]2 = 1 + 6z – 3z2 ⇔ (z + 2)2P2 + 4(z + 2)P + 4 = 1 + 6z – 3z2 ⇔ (P2 + 3)z2 + (4P2 + 4P – 6)z + 4P2 + 8P + 3 = 0 Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi ∆z’ ≥ 0 ⇔ (2P2 + 2P – 3)2 – (P2 + 3)(4P2 + 8P + 3) ≥ 0 ⇔‐3623≤P≤0 Ta có maxP = 0 khi x = 2, y = 0, z = 1.

Câu hỏi:

44 lượt xem

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 5 và x – y + z = 3. Giá trị lớn nhất của $P = \frac{x + y - 2}{z + 2}$ là

Xem đáp án

Xem thêm: Luyện tập tổng hợp Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Từ điều kiện ta có x² + y² = $\frac{{(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}}{2}$ = 5 – z²

Þ (x + y)² = 10 – 2z² – (3 – z)²

Do đó (x + y)² = 1 + 6z – 3z²

Dễ thấy z ≠ –2. Ta có P(z + 2) + 2 = x + y

Do đó [P(z + 2) + 2]² = 1 + 6z – 3z²

⇔ (z + 2)²P² + 4(z + 2)P + 4 = 1 + 6z – 3z²

⇔ (P² + 3)z² + (4P² + 4P – 6)z + 4P² + 8P + 3 = 0

Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi

∆_z’ ≥ 0 ⇔ (2P² + 2P – 3)² – (P² + 3)(4P² + 8P + 3) ≥ 0

$\Leftrightarrow ‐ \frac{36}{23} \leq P \leq 0$

Ta có maxP = 0 khi x = 2, y = 0, z = 1.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giá trị của y sao cho bất đẳng thức x² + 9y² + 5z² + 6xy – 4xz – 12yz – 2z + 1 ≥ 0 đúng với mọi x, z ∈ ℝ là

y ∈ ∅;

y ∈ ℝ;

‐ \frac{2}{3} \leq y \leq 0;

y < ‐ \frac{2}{3}

hoặc y > 0.

Xem đáp án »

9 tháng trước 78 lượt xem

Câu 2:

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = 4. Ta chứng minh được bất đẳng thức: x + y + z ≥ xy + yz + zx. Trong các bộ số (x; y; z) dưới đây, bộ số nào đúng khi x + y + z = xy + yz + zx?

(2; 2; 2);

(1; 1; 0);

(2; 2; 0);

(0; 0; 1).

Xem đáp án »

9 tháng trước 60 lượt xem

Câu 3:

Cho các số thực dương x, y, z. Ta chứng minh được xyz + 2(x² + y² + z²) + 8 ≥ 5(x + y + z). Dấu bằng xảy ra khi

x = y = z = 2;

x = y = z = 1;

x = y = 1; z = 2;

x = 1; y = z = 2.