Đáp án đúng là: C

Ta có x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇔ x + y + z ≥ (y + z)x + yz (1)

Ta giả sử z = min{x, y, z}. Suy ra 0 ≤ z ≤ 1. Từ giả thiết $x=\frac{4-yz}{y+z+yz}$ 

Nên $\left(1\right)\iff \frac{4-yz}{y+z+yz}+y+z\ge \left(y+z\right)\frac{4-yz}{y+z+yz}+yz$

$\iff \frac{4-yz}{y+z+yz}\left(1-y-z\right)+y+z-yz\ge 0$

⇔ (4 – yz)(1 – y – z) + (y + z – yz)(y + z + yz) ≥ 0

⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y²z + yz² + (y + z)² – y²z² ≥ 0

⇔ 4 – 4y – 4z – yz + y²z + yz² + y² + 2yz + z² – y²z² ≥ 0

⇔ f(y) = (1 + z – z²)y² + (z² + z – 4)y + (z – 2)² ≥ 0.

Tam thức f(y) có hệ số a = 1 + z – z² > 0 (do z ≤ 1) và có:

Δ = (z² + z – 4)² – 4(1 + z – z²)(z – 2)²

= z⁴ + z² + 16 + 2z³ – 8z² – 8z – (4 + 4z – 4z²)(z² – 4z + 4)

= z⁴ + 2z³ – 7z² – 8z + 16 – (4z² – 16z + 16 + 4z³ – 16z² + 16z – 4z⁴ + 16z³ – 16z²)

= z⁴ + 2z³ – 7z² – 8z + 16 + 4z⁴ – 20z³ + 28z² – 16

= 5z⁴ – 18z³ + 21z² – 8z

= z(5z³ – 18z² + 21z – 8)

= z(z – 1)²(5z – 8) ≤ 0 với mọi 0 ≤ z ≤ 1.

Do đó f(y) ≥ 0 với mọi y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = 0 hoặc z = 1.

Với z = 0 thì f(y) = y² – 4y + 4 = 0 ⇔ y = 2. Khi đó $x=\frac{4-0}{2+0+0}=2$

Với z = 1 thì f(y) = y² – 2y + 1 = 0 ⇔ y = 1. Khi đó $x=\frac{4-1.1}{1+1+1.1}=1$

Như vậy, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hoặc (x; y; z) = (2; 2; 0).