Lý thuyết Định lí Pythagore (Cánh diều 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 1: Định lí Pythagore

A. Lý thuyết Định lí Pythagore

1. Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài của cạnh huyền bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông.

$\mathrm{\Delta }ABC,\hat{A}={90}^o\Rightarrow B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

2. Định lí Pythagore đảo

Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

$\mathrm{\Delta }ABC,B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\Rightarrow \hat{A}={90}^o$

Ví dụ:

Tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 4cm thì tam giác ABC vuông tại A do $3^2+4^2=5^2$, suy ra$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$

Bài 1. Cho hình vẽ sau. Tìm giá trị của a.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore và tam giác ADE vuông tại A, ta có:

AD2 + AE2  = DE2

AE2  = DE2 – AD2

 Suy ra AE = 4.

Suy ra AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB2 + AC2  = BC2

Suy ra BC2 = 82 + 62 = 100 suy ra BC = 10 hay a = 10.

Vậy a = 10.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, tính độ dài cạnh còn lại trong các trường hợp sau:

a) AB = 5 cm, AC = 12 cm;

b) $AB= \sqrt{3}cm,BC=12cm$ ;

c) AB – AC = 7 cm, AB + AC = 17 cm.

Hướng dẫn giải

a) Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$

Vậy BC = 13 cm.

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra $A{C}^2=B{C}^2–A{B}^2={12}^2–{\left(\sqrt{3}\right)}^2=144–3=141$

Do đó $AC=\sqrt{141}=11,87\left(cm\right)$

Vậy AC = 11,87 cm.

c) Theo bài ta có: AB – AC = 7 suy ra AB = AC + 7

Mặt khác, AB + AC = 17 suy ra AC + 7 + AC = 17

Hay 2AC = 17 – 7 = 10 suy ra AC = 5 cm và AB = 12 cm

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$ .

Vậy BC = 13 cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$  và BC = 20 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB2 + AC2  = BC2 = 202 = 400.

Từ đề bài: $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$  hay $\frac{AB}{4}=\frac{AC}{3}$  suy ra $\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+9}=\frac{400}{25}=16$

AB2  = 16.16 suy ra AB = 16 cm.

AC2 = 9 . 16 = 144 suy ra AC = 12 cm.

Vậy AB = 16 cm; AC = 12 cm.