Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ (Cánh diều 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ: $a+b=b+a;a(a+2)=a^2+2a$ là những hằng đẳng thức.

$a^2-1=3a;a(a-1)=2a$ không phải là những hằng đẳng thức.

1. Bình phương của một tổng là gì?

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Ví dụ: ${101}^2=(100+1{)}^2={100}^2+\mathrm{2.100.1}+1^2=10201$

2. Bình phương của một hiệu là gì?

${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Ví dụ: ${99}^2=(100-1{)}^2={100}^2-\mathrm{2.100.1}+1^2=9801$

3. Hiệu hai bình phương là gì?

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Ví dụ: ${101}^2-{99}^2=(101-99)(101+99)=2.200=400$

4. Lập phương của một tổng là gì?

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Ví dụ: ${\left(x+3\right)}^3=x^3+3x^2.3+3x{.3}^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$

5. Lập phương của một hiệu là gì?

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Ví dụ: ${\left(x-3\right)}^3=x^3-3x^2.3+3x{.3}^2-3^3=x^3-9x^2+27x-27$

6. Tổng hai lập phương là gì?

$A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$

7. Hiệu hai lập phương là gì?

$A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3-8=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

B. Bài tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

A = (3x – 1)2 +  (3x + 1)2 – 2(3x – 1)(3x + 1).

Hướng dẫn giải

A = (3x – 1)2 +  (3x + 1)2 – 2(3x – 1)(3x + 1)

= 9x2 – 6x + 1 + 9x2 + 6x + 1 – 2 . [(3x)2 – 12]

= 18x2 + 2 – 2 . (9x2 – 1)

= 18x2 + 2 – 18x2 – 2 = 0.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x (đpcm).

Bài 2. Viết mỗi biểu thức sau về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 4x2 + 4x + 1;

b) y2 – 6y + 9.

Hướng dẫn giải

a) 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2. 2x . 1 + 12

= (2x + 1)2

b) y2 – 6y + 9 = y2 – 2 . y . 3 + 32 = (y – 3)2

Bài . Viết mỗi biểu thức sau về dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) b3 + 12b2 + 48b + 64;

b) x3 – 9x2 + 27x – 27.

Hướng dẫn giải

a) b3 + 12b2 + 48b + 64

= b3 + 3 . b2 . 4 + 3 . b . 42 + 43

= (b + 4)3.

b) x3 – 9x2 + 27x – 27

= x3 – 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 – 33

= (x – 3)3.

Video bài giảng Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ - Cánh diều