Lý thuyết Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) (Cánh diều 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 4: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

A. Lý thuyết Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

1. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a$\ne$0) là một đường thẳng.

Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b (a$\ne$0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0).

Ví dụ: Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số bậc nhất y = 2x −1.

2. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Hàm số y = ax (a$\ne$0)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax (a$\ne$0), ta có thể xác định điểm A(1; a) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O và A.

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = −2x.

Hướng dẫn giải

Với x = 1 thì y = −2, ta được A(1; −2) thuộc đồ thị hàm số y = −2x.

Vậy đồ thị của hàm số y = −2x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; −2).

Hàm số y = ax + b (a$\ne$0)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a$\ne$0, b$\ne$0), ta có thể xác định hai điểm P(0; b) và Q$\left(-\frac{b}{a};0\right)$ rồi vẽ dường thẳng đi qua hai điểm đó.

Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = −2x + 2.

Hướng dẫn giải

Với x = 0 thì y = 2, ta được điểm P(0; 2) thuộc đồ thị của hàm số y = −2x + 2.

Với y = 0 thì x = 1, ta được điểm Q(1; 0) thuộc đồ thị của hàm số y = −2x + 2.

Vẽ đồ thị của hàm số y = −2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm P(0; 2), Q(1; 0).

3. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0)

Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0) và trục Ox.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0). Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b và trục Ox, T là một điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương.

Góc α tạo bởi hai tia Ax và AT gọi là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox (hoặc nói đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox một góc α).

 Hệ số góc

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0). Hệ số a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0).

Nhận xét:

Khi hệ số góc a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0) và trục Ox là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn.

Khi hệ số góc a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0) và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn.

Ứng dụng của hệ số góc

Cho d: y = ax + b (a$\ne$0) và d’: y = a’x + b’ (a’$\ne$0)

a. d // d’ $\iff$ a = a’, b $\ne$b’.

b.$d\equiv d^{\prime }\iff a=a^{\prime },b=b^{\prime }$

c. d cắt d’ $\iff$ a $\ne$a’

Ví dụ: y = 2x + 1, y = 2x + 3 là hai đường thẳng song song vì có hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau.

 B. Bài tập Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 1: a) Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc bằng −1 và đi qua điểm M(1; 2)?

b) Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm M(1; 3) và song song với đường thẳng y = 2x?

Hướng dẫn giải

a) Vì đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc bằng −1 nên đường thẳng có dạng y = - x + b

y = −x + b.

Vì đường thẳng y = −x + b đi qua điểm M(1; 2) nên ta có: 2 = −1 + b $\Rightarrow$ b = 3.

Vậy y = −x + 3.

b) Vì đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) song song với đường thẳng y = 2x nên đường thẳng có dạng: y = 2x + b.

Mà đường thẳng y = 2x + b đi qua điểm M(1; 3) nên 3 = 2.1 + b $\Rightarrow$ b = 1.

Vậy y = 2x +1.

Bài 2: Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau: y = 3x + 1; y = 3x; y = −2x – 2.

Hướng dẫn giải

Cặp đường thẳng song song là: y = 3x + 1; y = 3x.

Cặp đường thẳng cắt nhau là: y = 3x + 1 và y = −2x – 2; y = 3x và y = −2x – 2.

Bài 3: Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x; y = −x − 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ?

Hướng dẫn giải

+ Với x = 1 thì y = 3, ta được điểm A(1; 3) thuộc đồ thị hàm số y = 3x.

Vẽ đồ thị hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A.

+ Với x = 0 thì y = −2, ta được điểm P(0; −2) thuộc đồ thị hàm số y = −x − 2.

Với y = 0 thì x = −2, ta được điểm Q(−2; 0) thuộc đồ thị hàm số y = −x − 2.

Vẽ đồ thị hàm số y = −x – 2 là đường thẳng đi qua hai điểm P và Q.