Tìm giới hạn của dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}$ .

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn |u_n| ≤ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{n+1}$ .

Cho phương trình x⁷ + x⁵ = 1. Mệnh đề đúng là

A. Phương trình có nghiệm âm.

B. Phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

C. Phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).

D. Phương trình vô nghiệm.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x\left(x-1\right)}{\sqrt{x-1}}$ . Hàm số này liên tục trên

A. (1; + ∞).

B. (– ∞; 1).

C. [1; + ∞).

D. (– ∞; 1].

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{x^2+3x+2}{x+1} neu x\ne -1\\ m neu x=-1\end{array}\right)$ với m là tham số. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi

A. m = 0.

B. m = 3.

C. m = – 1.

D. m = 1.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}2 neu -1<x\le 1\\ 1-x neu x\le -1 hoac x>1\end{array}\right)$ . Mệnh đề đúng là

A. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1].

B. Hàm số f(x) liên tục trên (– 1; 1].

C. Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1).

D. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+2}-x}{x}$ là

A. + ∞.

B. 0.

C. – 2.

D. Không tồn tại.

Cho $f\left(x\right)=\frac{x^2-x}{\left(x\right)}$ . Khi đó, giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ là

A. 0.

B. – 1.

C. 1.

D. Không tồn tại.

Giới hạn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}$ là

A. + ∞.

B. Không tồn tại.

C. 2.

D. 0.

Biết hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+a neu x\le 1\\ 2x+b neu x>1\end{array}\right)$ có giới hạn khi x → 1. Giá trị của a – b bằng

A. – 1.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=m+1$ . Biết giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại. Giá trị của m là

A. m = 1.

B. m = – 1.

C. m = 3.

D. Không tồn tại m.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-3$ . Khẳng định đúng là

A. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3$ .

B. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=0$ .

C. Không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ .

D. $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=-3$ .

Tính tổng $S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n\frac{2}{3^n}+\mathrm{...}$

A. $S=\frac{1}{2}$ .

B. $S=-\frac{1}{2}$ .

C. S = – 3.

D. S = 3.

Cho $u_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)$ . Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ bằng

A. + ∞.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$ .

D. 1.

Biết $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+n-1}{a{n}^2+1}=1$ với a là tham số. Giá trị của a² – 2a là

A. – 1.

B. 0.

C. 2.

D. Không xác định.

Cho $L=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3-2n+1\right)$ . Giá trị của L là

A. L = 0.

B. L = – ∞.

C. L = + ∞.

D. L = 1.

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b\in ℝ$ . Xét các khẳng định sau:

(1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=1+b$ ;

(2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n}{u_n}=b$ ;

(3) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=b$ ;

(4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\frac{1}{b}$ .

Số khẳng định đúng là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

 Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) $x^2=\sqrt{x+1}$, trong khoảng (1; 2).

b) cos x =  x, trong khoảng (0; 1). 

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f\left(x\right)=\frac{x^3+x+1}{x^2-3x+2}$

b) $g\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+3x-4}$

Tìm tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} neu \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<1\\ mx+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} neu \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 1\end{array}\right.$ liên tục trên ℝ.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3n{ê}^{\text{'}}ux\le 1\\ ax+bn{ê}^{\text{'}}u1<x<2\\ 5n{ê}^{\text{'}}ux\ge 2\end{array}\right.$. Xác định a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

Cho hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểm x = 0. Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x}$ tại x = 1.

Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 55 (triệu đồng).

a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ . Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}$ . Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Cho m là một số thực. Biết $\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}<span\; style="font-size:18px;">\to </span><span\; style="font-size:18px;">-</span><span\; style="font-size:18px;">\infty </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">lim</span>}}\left(\left(\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">m</span>}<span\; style="font-size:18px;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}\right)\left(\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">m</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}<span\; style="font-size:18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">1</span>}\right)\right)<span\; style="font-size:18px;">=</span><span\; style="font-size:18px;">-</span><span\; style="font-size:18px;">\infty </span>$ . Xác định dấu của m.

Cho hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$ với m là tham số. Biết $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ , tìm giá trị của m.

Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$ .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}$ . Tính:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ .

Tìm các số thực a và b sao cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=b$ .

Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+ax neu x>3\\ 3x^2+1 neu x\le 3\end{array}\right)$ có giới hạn khi x → 3.

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">\to </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">lim</span></span>}}\frac{\sqrt{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">4</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">1</span></span>}}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">3</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}$ ;

b) $\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">\to </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">1</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">lim</span></span>}}\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">3</span></span>}}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">+</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">3</span></span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">3</span></span>}}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">1</span></span>}}$ ;

c) $\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">\to </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}^{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">+</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">lim</span></span>}}\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">5</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">6</span></span>}}{{\left(\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}\right)}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}}$ ;

d) $\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">\to </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">0</span></span>}}^{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">lim</span></span>}}\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">+</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">2</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:12px;">x</span></span>}}$ .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}x neu x>1\\ 2 neu x=1\\ 1 neu x<1\end{array}\right)$ . Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1 không?

Cho dãy số (u_n) có tính chất $\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n^2}$ . Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$

Cho dãy số (u_n) với u₁ = 2, $u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$ , n ≥ 1. Đặt v_n = u_{n + 1} – u_n.

a) Tính v₁ + v₂ + ... + v_n theo n.

b) Tính u_n theo n.

c) Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, ..., A_nB_nC_n,... Kí hiệu s_n là diện tích của tam giác A_nB_nC_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng s₁ + s₂ + ... + s_n + ...

Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{\cos n}{n^2}$ . Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n\frac{1}{5^{n-1}}$ + …

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$ .

Cho $u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$ với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ .