Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t)=t^3-6t^2+9t$ với $t\ge 0$. Khi đó $x^{\prime }(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t)$; $v^{\prime }(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $a(t)$.
a) Tìm các hàm $v(t)$và $a(t)$
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức $f\left(x\right)=0,01x^3--0,04x^2+0,25x+0,44$ (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 ($0\le x\le 7$).
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y=2x^3+3x^2--36x+1$
b) $y=\frac{x^2-8x+10}{x-2}$
c) $y=\sqrt{-x^2+4}$

Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) $y=4x^3+3x^2--36x+6$
b) $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=h\left(x\right)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với $0\le x\le 2000$

Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2000]

Tìm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$

Đồ thị của hàm số $y=\{\begin{array}{l}{x}^{2}khix\le 1\\ 2-xkhix>1\end{array}$ được cho ở Hình 9.

a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.

b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?

c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu (+, –) thích hợp để hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.

Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 8

Quan sát đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=x^3--3x^2+1$ trong Hình 5.

a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f(x) < f(0) với mọi $x\ne 0$.

b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f(x) > f(2) với mọi $x\ne 2$.

c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi $x\ne 1$ hoặc f(x) < f(1) với mọi $x\ne 1$?

Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số $h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$ với $0\le t\le 8$

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức $h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)=3x-sinx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) $f(x)=x^3-6x^2+9x$

b) $g(x)=\frac{1}{x}$

Cho hàm số y = f(x) = $x^2$

a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các

khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,

nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.

Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh lớp 12A và 12B.

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A, 12B.

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?

Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của người lao động ở hai nhà máy như sau:

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.

Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021-2022 cho kết quả như sau:

a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $\left[40;50\right)$.

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trong tình huống mở đầu, gọi $y_1,y_2,...,y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và thứ phân vị thứ ba $Q_3$ cho mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.

Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:

a) Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?

Chỉ ra rằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Bảng 3.1

Trong tình huống mở đầu, gọi $x_1,x_2,...,x_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 (mẫu số liệu gốc).

a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc hay không?

b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất $x_i$ có thể nhận là gì?

c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.

Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m.
a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(4;2;-1\right),B\left(1;-1;2\right)$ và $C\left(0;-2;3\right)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;-1\right)$.
a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.
b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$.
c) Tính $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm $A\left(2;3;1\right),C\left(-1;2;3\right)$ và $O^{\prime }\left(1;-2;2\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(2;-1;3\right),B\left(1;1;-1\right)$ và $C\left(-1;0;2\right)$.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-2;2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(0;-1;1\right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ bằng
A. ${60}^0$.
B. ${135}^0$.
C. ${120}^0$.
D. ${45}^0$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;2\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ bằng
A. $-2$.
B. $-11$.
C. 11.
D. 2.

Trong không gian Oxyz, cho $A\left(1;0;-1\right),B\left(0;-1;2\right)$ và $G\left(2;1;0\right)$. Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. $\left(5;4;-1\right)$.

B. $\left(-5;-4;1\right)$.

C. $\left(1;2;-1\right)$.

D. $\left(-1;-2;1\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có $A\left(-1;0;3\right),B\left(2;1;-1\right)$ và $C\left(3;2;2\right)$. Tọa độ của điểm D là
A. $\left(2;-1;0\right)$.
B. $\left(0;-1;-6\right)$.
C. $\left(0;1;6\right)$.
D. $\left(-2;1;0\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;0;3\right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(-1;-2;5\right)$.
B. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(3;-2;-1\right)$.
C. $3\overrightarrow{a}=\left(3;-2;2\right)$.
D. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(0;-4;7\right)$.

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\frac{a^2}{4}$.
B. $\frac{a^2}{2}$.
C. $\frac{a^2}{3}$.
D. $a^2$.