Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Để $2{x^5} + {x^4} + 3{x^3} - 4{x^2} - 14x + m + 1$ chia hết cho đa thức ${x^2} - 2$ thì $m - 3 = 0$

Do đó $m = 3$.

Vậy $m = 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi $x$, $y$, $z$ $\left( {{\rm{kg}}} \right)$lần lượt là số kilôgam giấy vụn các chi đội $7A$, $7B$, $7C$ thu gom được.

Do ba chi đội thu gom được tất cả $180\,\,{\rm{kg}}$ giấy vụn nên ta có $x + y + z = 180$.

Do số kg giấy vụn của chi đội $7A$, $7B$, $7C$ lần lượt tỉ lệ thuận với $6;5;4$ nên:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

 $\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{{180}}{{15}} = 12$.

Với $\frac{x}{6} = 12$, ta có $x = 6.12 = 72$.

Với $\frac{y}{5} = 12$, ta có $y = 5.12 = 60$.

Với $\frac{z}{4} = 12$, ta có $z = 4.12 = 48$.

Vậy số kilôgam giấy vụn các chi đội $7A$, $7B$, $7C$ thu gom được lần lượt là $72\,\,{\rm{kg}}$; ${\rm{60}}\,\,{\rm{kg}}$ và $48\,\,{\rm{kg}}$.

a) $A\left( x \right) = \frac{5}{6}{x^3} - \frac{{12}}{7}{x^2} + 5x + \frac{5}{7}{x^2} + \frac{1}{6}{x^3} - 3x + 9$

             $= \left( {\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \right){x^3} + \left( { - \frac{{12}}{7} + \frac{5}{7}} \right){x^2} + \left( {5 - 3} \right)x + 9$

             $= {x^3} - {x^2} + 2x + 9$.

b) Hệ số tự do của đa thức $A\left( x \right)$ là 9.

Ta có $A\left( 2 \right) = {2^3} - {2^2} + 2.2 + 9 = 17$.

c) Ta có $A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

                    $= {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - \left( {{x^3} - {x^2} + 2x + 9} \right)$

                    $= {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - {x^3} + {x^2} - 2x - 9$

                    $=  - {x^2} + 7x - 12$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó $- {x^2} + 7x - 12 = 0$

           $- {x^2} + 4x + 3x - 12 = 0$

           $- x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right) = 0$

           $\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = 0$

Suy ra $x = 3$ hoặc $x = 4$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {3;4} \right\}$.

a) $\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}$ 

    $- 5.\left( {2 - x} \right) = 4\left( {x - 3} \right)$

      $- 10 + 5x = 4x - 12$

                  $x =  - 2$

Vậy $x =  - 2$.

b) $x\left( {2x - 5} \right) + \left( {4{x^3} - 6{x^2} - 6x} \right):\left( { - 2x} \right) = 19$

    $2{x^2} - 5x + \left( { - 2{x^2} + 3x + 3} \right) = 19$

    $2{x^2} - 5x - 2{x^2} + 3x + 3 = 19$

                                  $- 2x = 16$

                                      $x =  - 8$

Vậy $x =  - 8$.

Do số $a$ nhỏ hơn số $c$ một đơn vị nên ta có $a = c - 1\,\,\,\left( 1 \right)$.

Theo đề, ta có $x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$, suy ra $P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0$.

Khi đó $P\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$, do đó $b =  - \frac{1}{2}a - 2c\,\,\,\left( 2 \right)$.

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được: $b =  - \frac{1}{2}\left( {c - 1} \right) - 2c =  - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}\,\,\,\left( 3 \right)$

Do $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$ nên $P\left( x \right) = \left( {x - 3} \right).Q\left( x \right)$ với $Q\left( x \right)$ là thương của phép chia $P\left( x \right)$ cho $x - 3$.

Ta có $P\left( 3 \right) = \left( {3 - 3} \right).Q\left( x \right) = 0$, hay $P\left( 3 \right) = 0$.

Khi đó $9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)$

Thế $a = c - 1$ và $b =  - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}$ vào $\left( * \right)$, ta được:

$$9\left( {c - 1} \right) + 3\left( { - \frac{5}{2}c + \frac{1}{2}} \right) + c = 0$$.

Suy ra $\frac{5}{2}c = \frac{{15}}{2}$, do đó $c = 3$.

Với $c = 3$, ta có $a = 3 - 1 = 2$ và $b =  - \frac{5}{2}.3 + \frac{1}{2} =  - 7$.

Vậy $a = 2$; $b =  - 7$ và $c = 3$.

Lưu ý: Với dữ kiện đa thức $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$, ta cũng có thể suy ra điều kiện $\left( * \right)$ bằng cách đặt tính chia đa thức $P\left( x \right)$ cho đa thức $x - 3$ như sau:

Để đa thức $P\left( x \right)$ chia hết cho $x - 3$,  thì $9a + 3b + c = 0\,\,\,\left( * \right)$.

a) Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

$\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ$;

$OA = OB$ (giả thiết);

$\widehat {AOB}$ là góc chung.

Do đó $\Delta OAE = \Delta OBF$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $OE = OF$ (cặp cạnh tương ứng).

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta EIF$, ta được: $EF < EI + IF$.

Mà $2EM = EF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$).

Suy ra $2EM < EI + IF$.

Vậy $EM < \frac{{EI + IF}}{2}$.

c) Xét $\Delta OEF$ có hai đường cao $FB$ và $AE$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta OEF$.

Do đó $OI \bot EF\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta OEM$ và $\Delta OFM$, có:

$OM$ là cạnh chung;

$ME = MF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$);

$OE = OF$ (câu a).

Do đó $\Delta OEM = \Delta OFM\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $\widehat {OME} = \widehat {OMF}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Khi đó $\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ$ hay $OM \bot EF\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$, suy ra ba điểm $O$, $I$, $M$ thẳng hàng.

Gọi $$a$$, $b$, $c$ (quyển vở) lần lượt là số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được.

Theo đề, ta có tổng số quyển vở lớp $7A$ và $7B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7C$ là 62 quyển, suy ra $a + b - c = 62$.

Do số quyển vở mỗi lớp quyên góp được tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó nên:

$\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

 $\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}} = \frac{{a + b - c}}{{32 + 35 - 36}} = \frac{{62}}{{31}} = 2$.

Suy ra $a = 32.2 = 64$; $b = 35.2 = 70$; $c = 36.2 = 72$.

Vậy số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được lần lượt là 64 quyển vở; 70 quyển vở và 72 quyển vở.

a) $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$

             $= \left( {\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right){x^3} + \left( {4 + 7} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{5}} \right)x - 1 + 4$

             $= 2{x^3} + 11{x^2} - x + 3$.

b) Bậc của đa thức $A\left( x \right)$ là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức $A\left( x \right)$ là 2.

c) Ta có $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

                    $= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - \left( {2{x^3} + 11{x^2} - x + 3} \right)$

                    $= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - 2{x^3} - 11{x^2} + x - 3$

                    $= {x^2} - 2x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó ${x^2} - 2x = 0$

           $x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;2} \right\}$.