Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Do đó $\frac{{2{n^2} - n}}{{n + 1}} = 2n - 3 + \frac{3}{{n + 1}}$ (với $$n + 1 \ne 0$$).

Với $n \in \mathbb{Z}$ để $2{n^2} - n$ chia hết cho $n + 1$ thì $$3 \vdots \left( {n + 1} \right)$$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $$n + 1 \in$$ Ư$$\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}$$

a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$;

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$);

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta ADB = \Delta AEC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = AC$ (chứng minh trên)

Nên $AB - AE = AC - AD$ hay $BE = CD$.

b) Do $\Delta ADB = \Delta AEC$ (câu a) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta CHD$ có:

$\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ$;

$BE = CD$ (chứng minh câu a);

$\widehat {EBH} = \widehat {DCH}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta BHE = \Delta CHD$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $HBC$ có $HB = HC$ nên là tam giác cân tại $H$.

Xét $\Delta HDC$ vuông tại $D$ có $HC$ là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó $HC > HD$.

Mà $HB = HC$ (chứng minh trên) nên $HB > HD.$

c) Gọi $$P$$ là giao điểm của $$HI$$ và $$BC$$.

$\Delta HBC$ có hai đường trung tuyến $$BM$$ và $$CN$$ cắt nhau tại $$I$$.

Do đó $$I$$ là trọng tâm của $\Delta HBC$ nên $$HP$$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $$H$$ của tam giác.

Mà $\Delta HBC$ cân tại $H$ nên đường trung tuyến $$HP$$ đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra $HP \bot BC$ hay $HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

• $\Delta ABC$ có $$H$$ là giao điểm của hai đường cao $$BD$$ và $$CE$$ nên $$H$$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Do đó $AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ba điểm $A,H,I$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $$BC$$ tại $P$.

Hay ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

Gọi số tiền lãi ba công ty $A,B,C$ nhận được lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng).

Do số tiền lãi nhận được chia theo tỉ lệ góp vốn mà số tiền góp vốn của ba công ty $A,B,C$ lần lượt tỉ lệ với ba số $$7;9;8$$ nên $\frac{x}{7} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8}$.

Tổng số tiền lãi ba công ty có là $1,2$ tỉ đồng (1 200 triệu đồng) nên $x + y + z = 1\,\,200$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8} = \frac{{x + y + z}}{{7 + 9 + 8}} = \frac{{1200}}{{24}} = 50$

Suy ra $$\left\{ \begin{array}{l}x = 7.50 = 350\\y = 9.50 = 450\\z = 8.50 = 400\end{array} \right.$$

Vậy số tiền lãi ba công ty $A,B,C$ nhận được lần lượt là 350 triệu đồng, 450 triệu đồng, 400 triệu đồng.

a) $$A\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - x - 4 + 4{x^2} - x$$

              $= {x^3} + \left( { - 3{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( { - x - x} \right) - 4$

              $= {x^3} + {x^2} - 2x - 4$.

$$B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 5x - {x^2} + 6 + {x^3} - {x^4}$$

         $= \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( {2{x^2} - {x^2}} \right) - 5x + 6$

         $= {x^3} + {x^2} - 5x + 6$.

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có bậc là 3 và hệ số cao nhất là 1.

c) $M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$

$M\left( x \right) = \left( {{x^3} + {x^2} - 2x - 4} \right) - \left( {{x^3} + {x^2} - 5x + 6} \right)$

          $= {x^3} + {x^2} - 2x - 4 - {x^3} - {x^2} + 5x - 6$

          $= \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x + 5x} \right) + \left( { - 4 - 6} \right)$

          $= 3x - 10$

Ta có $M\left( x \right) = 0$ tức là $3x - 10 = 0$, suy ra $x = \frac{{10}}{3}$.

Vậy đa thức $M\left( x \right)$ có nghiệm là $x = \frac{{10}}{3}$.

Ta có: $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}}$;

$\frac{{cx - az}}{b} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}}$; $\frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$.

Mà $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$

Nên $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}$

$= \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0$.

Do đó $$bz - cy = 0;\,\,ay - bx = 0$$.

Khi đó, $bz = cy$ nên $\frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ và $ay = bx$ nên $\frac{b}{y} = \frac{a}{x}$.

Do đó $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ (đpcm).

Vì $BD$; $CE$ là đường trung tuyến nên $D$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $AB$.

Do đó, $AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE = EB = AD = DC$.

Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CDB$ có:

$BE = DC$ (chứng minh trên)

Cạnh $BC$ chung

$\widehat {EBC} = \widehat {DCB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta BEC = \Delta CDB$ (g.c.g)

Suy ra $BD = CE$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {ECB} = \widehat {DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác $BGC$ có: $\widehat {ECB} = \widehat {DBC}$ hay $\widehat {GCB} = \widehat {GBC}$.

Do đó $\Delta BGC$ cân tại $G$.

Suy ra $GB = GC$ (tính chất tam giác cân)

Ta có: $BD = BG + GD;\,\,CE = CG + GE$.

Mà $BD = EC;\,\,BG = GC$ nên $GE = GD$.

Xét tam giác $EGD$ có: $GE = GD$ nên $\Delta EGD$ cân tại $G$.

b) Xét tam giác $BGC$ có:

$BG + GC > BC$ (bất đẳng thức tam giác) (*)

Vì hai đường trung tuyến $BD;CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Ta có: $$BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$$ (**)

Thay (**) vào (*) ta được: $BG + CG = \frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC$ hay $\frac{2}{3}\left( {BD + CE} \right) > BC$.

Suy ra $BD + CE > \frac{3}{2}BC$ (đpcm).

a) $$P(x) = \left( {2{x^2} - {x^3} + x - 5} \right) + \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x - 1} \right)$$

$$= 2{x^2} - {x^3} + x - 5 + {x^3} - 2{x^2} + 3x - 1$$

$$= \left( { - {x^3} + {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {x + 3x} \right) + \left( { - 5 - 1} \right)$$$= 4x - 6$.

Vậy $P\left( x \right) = 4x - 6$.

b) Đa thức $P\left( x \right) = 4x - 6$ có nghiệm khi $4x - 6 = 0$

$4x = 6$

$x = \frac{3}{2}$

Vậy nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$ là $x = \frac{3}{2}$.

Gọi $x,\,\,y,\,\,z,\,\,t$ (học sinh) lần lượt là số học sinh bốn khối 6; 7; 8; 9 $\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z,\,\,t < 660} \right)$.

Vì tổng số học sinh là 660 nên $x + y + z + t = 660$.

Vì số học sinh tỉ lệ thuận với $$3;\,\,3,5;\,\,4,5;\,\,4$$ nên $\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{{3,5}} = \frac{z}{{4,5}} = \frac{t}{4} = \frac{{x + y + z + t}}{{3 + 3,5 + 4,5 + 4}} = \frac{{660}}{{15}} = 44$

Suy ra $\frac{x}{3} = 44$ nên $x = 44\,\,.\,\,3 = 132$ (thỏa mãn);

$\frac{y}{{3,5}} = 44$ nên $y = 44\,\,.\,\,3,5 = 154$ (thỏa mãn);