Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Suy ra $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}}$, ta được:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$   (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho $\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}}$, ta được:

$\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}$.

Do đó $\frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}}$ (đpcm).

a) Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (do $BD;\,\,CE$ là đường trung tuyến).

Suy ra $BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE$ mà $BD = CE$ nên $BG = CG$.

Lại có: $BD = BG + GD$; $CE = CG + GE$ nên $GD = GE$.

Xét tam giác $EGB$ và tam giác $DGC$ có:

$BG = GC$ (chứng minh trên)

$\widehat {BGE} = \widehat {CGD}$ (hai góc đối đỉnh)

$GD = GE$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta EGB = \Delta DGC$ (c.g.c)

Suy ra, $EB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $E$ là trung điểm của $AB$; $D$ là trung điểm của $AC$.

Do đó, $AB = AC\,\,\left( {AB = 2EB;\,\,AC = 2CD} \right)$.

Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $H$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $AH$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ (ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy).

Do đó, $H$ là trung điểm của $BC$ nên $BH = HC$.

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:

$AB = AC$ (chứng minh trên)

$BH = HC$ (chứng minh trên)

Cạnh $AH$ chung

Do đó, $\Delta AHB = \Delta AHC$ (c.c.c)

Suy ra, $\widehat {AHB} = \widehat {AHC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ$, do đó $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$.

Suy ra $AH \bot BC$ hay $AG \bot BC$ (đpcm)

b) Xét tam giác $AMB$ có: $MA + MB > AB$ (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Xét tam giác $AMC$ có: $AM + MC > AC$ (bất đẳng thức tam giác)          (2)

Xét tam giác $BMC$ có: $MB + MC > BC$ (bất đẳng thức tam giác)          (3)

Cộng vế theo vế (1); (2); (3) ta được:

$MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC$

Suy ra, $2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC$

Hay $2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + AC + BC$.

Do đó $MA + MB + MC > \frac{{AB + AC + BC}}{2}$ (đpcm)

Chứng minh: $MA + MB + MC > \frac{{AB + BC + AC}}{2}$.

a) $A(x) = 5{x^3} + 2{x^4} - {x^2} + 3{x^2} - {x^3} - 2{x^4} + 1 - 4{x^3}$

$= \left( {2{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {5{x^3} - {x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 3{x^2}} \right) + 1$

$= 0 + 0 + 2{x^2} + 1$$= 2{x^2} + 1$.

Vậy thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến ta được $A(x) = 2{x^2} + 1.$

b) Ta có: Để đa thức có nghiệm thì $A\left( x \right) = 0$ hay $2{x^2} + 1 = 0$

Do đó, $2{x^2} =  - 1$ hay ${x^2} = \left( { - 1} \right):2 = \frac{{ - 1}}{2}$.

Mà ${x^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, ${x^2} = \frac{{ - 1}}{2}$ (vô lí)

Vậy đa thức $A\left( x \right) = 2{x^2} + 1$ không có nghiệm.

Gọi $z;\,\,y;\,\,z$ (quyển sách) lần lượt là số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được$\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z \in \mathbb{N}} \right)$.

Vì tổng số sách lớp 7A và 7B góp được hơn số sách lớp 7C góp được là 40 quyển nên $x + y - z = 40$.

Mặt khác, số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được tỉ lệ thuận với $6;\,\,4;\,\,5$ nên ta có: $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{40}}{5} = 8$

Ta có: $\frac{x}{6} = 8$ nên $x = 8\,\,.\,\,6 = 48$ (thỏa mãn);

$\frac{y}{4} = 8$ nên $y = 8\,\,.\,\,4 = 32$ (thỏa mãn);

$\frac{z}{5} = 8$ nên $z = 8\,\,.\,\,5 = 40$ (thỏa mãn)

Vậy số sách ba lớp 7A; 7B; 7C góp được lần lượt là 48 quyển; 32 quyển; 40 quyển.

a) $\frac{4}{5} = \frac{{ - 16}}{x}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

$4x = \left( { - 16} \right)\,\,.\,\,5$

$4x =  - 80$

$x = \left( { - 80} \right):4$

$x =  - 20$

Vậy $x =  - 20$.

b) $\frac{{\left| {x - 5} \right|}}{{28}} = \frac{3}{7}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$$\left| {x - 5} \right|\,\,.\,\,7 = 3\,\,.\,\,28$$

$$\left| {x - 5} \right|\,\,.\,\,7 = 84$$

$\left| {x - 5} \right| = 84:7$

$\left| {x - 5} \right| = 12$

Trường hợp 1: $x - 5 = 12$

$x = 12 + 5$

$x = 17$

Trường hợp 2: $x - 5 =  - 12$

$x =  - 12 + 5$

$x =  - 7$

Vậy $x \in \left\{ {17;\,\, - 7} \right\}$.

c) $\frac{{2x - 1}}{{ - 9}} = \frac{{ - 25}}{{2x - 1}}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$\left( {2x - 1} \right)\,\,.\,\,\left( {2x - 1} \right) = \left( { - 9} \right)\,\,.\,\,\left( { - 25} \right)$

${\left( {2x - 1} \right)^2} = 225$

${\left( {2x - 1} \right)^2} = {15^2} = {\left( { - 15} \right)^2}$

Trường hợp 1: $2x - 1 = 15$

$2x = 16$

$x = 8$

Trường hợp 2: $2x - 1 =  - 15$

$2x =  - 14$

$x =  - 7$

Vậy $$x \in \left\{ {8;\,\, - 7} \right\}$$.

Với mọi số nguyên x thì A luôn xác định.

Ta có: $$A = \frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}.\frac{{2x + 2}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}.\frac{{(2x - 3) + 5}}{{2x - 3}} = \frac{1}{2}.\left( {1 + \frac{5}{{2x - 3}}} \right)$$

$$A$$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $$\frac{5}{{2x - 3}}$$ đạt giá trị nhỏ nhất hay $$2x - 3$$ đạt giá trị lớn nhất.

Từ đó lí luận chỉ ra được $$2x - 3 =  - 1$$.

Do đó $$x = 1$$ (thỏa mãn). Khi đó $$A =  - 2$$.

Suy ra min $$A =  - 2$$ đạt được tại $$x = 1$$.

Vậy $$x = 1$$ thì $$A$$ đạt giá trị nhỏ nhất.

a) 

Xét $$\Delta AIC$$ và $$\Delta AIB$$ có:

 $$AB = AC$$ (gt)

 $$AI$$ (cạnh chung)

 $$BI = CI$$ (gt) 

Suy ra $$\Delta AIC{\rm{  = }}\Delta AIB$$ (c.c.c) 

b)

Xét $$\Delta EIC$$ và $$\Delta DIB$$ có:

 $$IE = ID$$ (gt)

 $\widehat {EIC} = \widehat {DIB}$ ( đồng vị)

 $$BI = CI$$ (gt) 

Do đó $$\Delta EIC{\rm{  = }}\Delta DIB$$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {ECI} = \widehat {DBI}$ ( hai góc tương ứng) (1)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên $$AB\parallel CE$$.

c)

Ta có $$\Delta AIC{\rm{  = }}\Delta AIB$$ (theo câu a)

Suy ra $\widehat {ACI} = \widehat {DBI}$ ( hai góc tương ứng) (2)

Và $$AC = AB$$ ( hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ACI} = \widehat {ECI}$

Từ đó chứng minh được $$\Delta HCK{\rm{  = }}\Delta ECK$$ (g.c.g)

Suy ra $$CE = CH$$ ( hai cạnh tương ứng) (4)

Mà $$BD = CE$$ (hai cạnh tương ứng của $$\Delta EIC{\rm{  = }}\Delta DIB$$) suy ra $$BD = CH$$ (5)

Từ (3) và (5) chỉ ra được $$AH = AD$$

Suy ra tam giác $$AHD$$ cân tại $$A$$ $\Rightarrow \widehat {AHD} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2}$ (*)

Ta có $$AB = AC$$ nên tam giác $$ABC$$ cân tại $$A$$

 $\Rightarrow \widehat {ACB} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat {AHD} = \widehat {ACB}$

Mà mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $$HD\parallel BC$$

Dễ chỉ ra được $$AI$$ vuông góc với $$BC$$.

Do đó $$HD$$ vuông góc với $$AI$$.

a)

$2x - \frac{3}{4} = \frac{{ - 1}}{2}$               

$\begin{array}{l}2x = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{4}\\2x = \frac{1}{4}\end{array}$

$x = \frac{1}{8}$

Vậy $x = \frac{1}{8}$.

b) 

$\begin{array}{l}\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x = \sqrt 4 \\\frac{5}{2} - \frac{1}{2}x = 2\\\frac{1}{2}x = \frac{5}{2} - 2\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}\\x = 1\end{array}$

Vậy $x = 1$.