Giải bài tập Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách. 

A.  Câu hỏi

 Giải Toán 10 trang 36 Tập 2

 Hoạt động 1 trang 36 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng

∆1: x – 2y + 3 = 0

∆2: 3x – y – 1 = 0

a) Điểm M(1; 2) có thuộc hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{array}\right.$

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 với nghiệm của hệ phương trình trên.

 Giải Toán 10 trang 37 Tập 2

 Luyện tập 1 trang 37 Toán 10 Tập 2:

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;

b) ∆1: x + 2y – $\sqrt{5}$ = 0 và ∆2: 2x + 4y – 3$\sqrt{5}$ = 0.

 Hoạt động 2 trang 37 Toán 10 Tập 2:

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mỗi quan hệ gì với nhau?

 Giải Toán 10 trang 38 Tập 2

Hoạt động 3 trang 38 Toán 10 Tập 2:

Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1 và ∆2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a) góc φ và góc ($\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$);

b) cos φ và cos($\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$).

 Giải Toán 10 trang 39 Tập 2

 Luyện tập 2 trang 39 Toán 10 Tập 2:

Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1: x + 3y + 2 = 0 và $∆$2: y = 3x + 1

 Luyện tập 3 trang 39 Toán 10 Tập 2:

Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1:$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$ và ∆2:$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\text{'}\\ y=5+3t\text{'}\end{array}\right.$.

 Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua điểm O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa ${\alpha }_{\Delta }$ và ${\alpha }_{{\Delta }_0}$

d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh tan${\alpha }_{\Delta }$= a

 Giải Toán 10 trang 40 Tập 2

Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2:

Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$

b) Gỉa sử H có toạ độ (x1; y1). Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a.(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)={\text{ax}}_0+b{y}_0+c$

c) Chứng minh rằng HM = $\frac{\left|{\text{ax}}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2:

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\right.$

 Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

Vận dụng  trang 41 Toán 10 Tập 2:

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m (H.7.11)

a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng 1m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m . Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào ao nuôi vịt hay không ?                         

B. Bài tập

 Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2:

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1 : 3$\sqrt{2}$x + $\sqrt{2}$y –$\sqrt{3}$= 0 và ∆2 : 6x + 2y –$\sqrt{6}$= 0

b) d1 : x –$\sqrt{3}$y + 2 = 0 và d2 : $\sqrt{3}$x – 3y + 2 = 0

c) m1 : x – 2y + 1= 0 và m2 : 3x + y – 2 = 0

 Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2:

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1 : $\sqrt{3}$x + y – 4 = 0 và ∆2 : x +$\sqrt{3}$y + 3 = 0

b) d1 : $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{array}\right.$ và d2 : $\left\{\begin{array}{l}x=3+s\\ y=1-3s\end{array}\right.$(t; s là các tham số)

 Giải Toán 10 trang 42 Tập 2

Bài 7.9 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(0; –2) và đường thẳng ∆ : x + y – 4 = 0

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(–1; 0) và song song với ∆.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Bài 7.10 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(–2; –1)

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích ABC.

Bài 7.11 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Chứng minh hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ = –1