30 câu Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác (có đáp án 2024) – Toán 8 Chân trời sáng tạo

Tam giác BCZ vuông tại C nên theo định lý Pytago ta có:

BZ=√BC2+CZ2=10

Trong tam giác BCZ có BU là đường phân giác của góc CBZ nên UCUZ=BCBZ=810=45

Do đó, UC4=UZ5

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

UC4=UZ5=UC+UZ4+5=CZ9=69=23 nên UC=4.23=83

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: BC2=AB2+AC2=625 nên BC=25cm

Diện tích tam giác ABC là: SABC=12AB.AC=12AH.BC nên AH=AB.ACBC=15.2025=12(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H có: AB2=AH2+HB2

HB2=AB2−AH2=81 nên HB=9cm , do đó, HC=BC−HB=16(cm)

Vì AD là đường phân giác của góc BAH trong tam giác ABH nên

ABAH=BDDH=BH−DHDH nên 1512=9−DHDH

15DH=108−12DH nên DH=4cm

Vì BD, CE là các đường phân giác trong tam giác ABC nên:
ABBC=ADDC=12;ACBC=AEEB=34

Do đó AB2=BC4=AC3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: AB2=BC4=AC3=AB+BC+AC2+4+3=279=3

Do đó, AB=6cm,BC=12cm,AC=9cm

Vì ABCD là hình bình hành nên ^ABC=^ADC.

Vì BE và DF lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ADC nên ^ADF=^CBE

Mặt khác, ta có: AD=CB=b,^DAF=^BCE (so le trong)

Suy ra: ΔADF=ΔCBE(g.c.g) nên AF=CE

Đặt AF=CE=x

Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên

ABBC=AECE=FA+FECE⇒ab=x+mx⇒x=mba−b

AC=2x+m=2mba−b+m=m(a+b)a−b=3,45(12,5+7,25)12,5−7,25≈12,98cm

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên DADC=ABBC=46=23⇒AD=23DC

Lại có: AC=DC+AD=23DC+DC=53DC⇒53DC=5⇒DC=3cm⇒AD=2cm

Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên SDAESACE=ADAC=25(1)

Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên SACESABC=AEAB(2)

Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

AEEB=ACBC⇒AEAC=EBBC hay AE5=EB6
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: AE5=EB6=AE+EB5+6=AB11=411

Suy ra: AE=411.5=2011⇒AEAB=511(3)

Thay (3) vào (2) ta có: SACESABC=511(4)

Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: SADESABC=25.511=211

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD và BI vào các tam giác ABC, ABD ta được: DIIA=DBBA=DBc(1)

DBBA=DCCA hay DBc=DCb

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: DBc=DCb=DB+DCc+b=BCb+c⇒DB=cab+c(2)

Thay (2) vào (1) ta được: DIIA=cac(b+c)=ab+c

Suy ra: DIa=IAb+c=DI+IAa+b+c=ADa+b+c⇒DIAD=aa+b+c(3)

Chứng minh tương tự ta có: EIEB=ba+b+c,FIFC=ca+b+c(5)

Cộng theo vế của (3), (4), (5) ta có: DIDA+EIEB+FIFC=a+b+ca+b+c=1

Ta có: HF=GF−GH=20−x

Xét tam giác GEF có EH là đường phân giác của góc GEF nên

GHHF=EGFE hay x20−x=1812

12x=18(20−x)

12x=360−18x

30x=360

x=12

Xét tam giác ABC có:

AD là đường phân giác của góc BAC nên BDDC=ABAC

BE là đường phân giác của góc ABC nên ECEA=BCAB

CF là đường phân giác của góc BCA nên FAFB=ACBC

Do đó, DBDC.ECEA.FAFB=ABAC.BCAB.ACBC=1

Xét tam giác ABC có AM là đường phân giác góc BAC nên MBMC=ABAC=ab

Xét tam giác ABC có CN là đường phân giác góc BCA nên NBNA=CBAC=ab

Do đó, NBNA=MBMC nên MN//AC (định lý Thalès đảo)