Lý thuyết Các công thức lượng giác (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác - Chân trời sáng tạo

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

A. Lý thuyết Các công thức lượng giác

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

B. Bài tập Các công thức lượng giác

Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

⇔ $P=-2\sin x$

Vậy P = −2sin x.

Bài 2. Chứng minh rằng: $\cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\mathrm{cos(}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)).$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Hướng dẫn giải

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ ⇒ cos α < 0.

Ta có: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$

⇒ $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (do cos α < 0).

$\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=-\frac{4\sqrt{2}}{9}.\frac{9}{7}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}.$

$\cot 2\alpha =\frac{1}{\tan 2\alpha }=-\frac{7\sqrt{2}}{8}.$