Lý thuyết Giới hạn của hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $y=f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$ thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

* Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,\underset{x\to x_0}{lim}{x}^k={x_0}^k,k\in {\mathbb{Z}}^{+}.\\ b,\underset{x\to x_0}{lim}\left[c.f(x)\right]=c.\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\end{array}$

($c\in \mathbb{R}$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\in \mathbb{R}$)

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói $y=f(x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì,$x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$.

Ta nói $y=f(x)$có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì,$a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

*Chú ý:

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)$ thì không tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$.

Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x\to x_0$bằng $x\to {x_0}^{+}$hoặc $x\to {x_0}^{-}$.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };a\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n<a$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}c=c,$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{c}{x^k})=0$

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn bên phải là $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f(x)$ ó giới hạn bên phải là $-\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Các giới hạn một bên$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty },k\in {\mathbb{Z}}^{+}.$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty },$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=-\mathrm{\infty },$ k là số nguyên dương lẻ.
• $\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{1}{x-a}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{1}{x-a}=-\mathrm{\infty }\left(a\in \mathbb{R}\right)$

Giới hạn vô cực

Nếu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L\ne 0$ và $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$hoặc $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g(x)=-\mathrm{\infty }$thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}\left[f(x).g(x)\right]$ được tính như sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ${x_0}^{+}$thành ${x_0}^{-}$(hoặc $+\mathrm{\infty }$,$-\mathrm{\infty }$)

B. Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$ khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số $x_n=\frac{1}{2n\pi };y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$

Suy ra $\lim x_n=\lim \frac{1}{2n\pi }=\frac{1}{2\pi }\lim \frac{1}{n}=\frac{1}{2\pi }.0=0$

Và $\lim y_n=\lim \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi \lim n}=0$

Khi đó ta xét:

• lim f($x_n$) = limsin ($2n\pi$) = 0;

• lim f ($y_n$) = limsin ($\frac{\pi }{2}+2n\pi$) = 1.

Do lim f($x_n$) $\ne$ lim f ($y_n$) (0 $\ne$ 1) nên hàm số f(x) = $\sin \frac{1}{x}$ không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

a) A = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$x($\sqrt{4x^2+9}-2x$);

b) B = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$($\sqrt{x^2-2x+2}-x$).

Hướng dẫn giải

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{2}{-x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}-1}=+\infty$

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x-4}-x}{x^2-4}$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{3x-2}-x}{\sqrt{3x+1}-2}$ .

Hướng dẫn giải