Lý thuyết Cấp số cộng (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Cấp số cộng

1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:

$u_n=u_{n-1}+d,n\ge 2$

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

* Nhận xét: Nếu $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\left(k\ge 2\right)$

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định theo công thức$u_n=u_1+(n-1)d,n\ge 2.$

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$với công sai d. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$

B. Bài tập Cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 321 và un + 1 = un – 3, ∀n ∈ ℕ*. Số 99 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?

A. 72;

B. 73;

C. 74;

D. 75.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: un + 1 = un – 3 ⇒ un + 1 − un = −3 ⇒ d = −3.

un = u1 + (n – 1)d = 321 + (n – 1)(−3) = −3n + 324.

Ta có: un = 99 ⇒ −3n + 324 = 99

⇒ −3n = −225 ⇒ n = 75.

Vậy 99 là số hạng thứ 75 trong dãy số.

Bài 2. Cho cấp số cộng (un) có u2 = 2017 và u3 = 1945. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có u3 – u2 = 1945 – 2017 = –72 ⇒ d = −72.

⇒ u1 = u2 − d = 2017 + 72 = 2089.

u6 = u1 + 5d = 2089 + 5.(−72) = 1729.

Vậy số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho là 1729.

Bài 3. Cho cấp số cộng (un) có $u_1=\frac{1}{3},u_8=26$ . Tìm d và xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có <$u_8=u_1+7d \iff 26=\frac{1}{3}+7d$

$\iff 7d=\frac{77}{3}$$\iff d=\frac{11}{3}.$

Vậy công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là $u_n=u_1+\frac{11}{3}\left(\mathrm{(n}–\mathrm{1)}\right)$