Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản - Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m$

Phương trình sinx = m ,

• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$,

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=m\iff \sin x=\sin \alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\sin x=\sin {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x={180}^o-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

3. Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$

Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$,

• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì $\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b, Một số trường hợp đặc biệt

$\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$

4. Phương trình $\tan x=m$

Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan \mathrm{x}=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\tan x=\tan {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

5. Phương trình $\cot x=m$

Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi m.

Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(0;\pi \right)$ thoả mãn $\cot \alpha =m$. Khi đó:

$\cot \mathrm{x}=m\iff \cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

*Chú ý: Nếu số đo của góc $\alpha$được cho bằng đơn vị độ thì

$\cot x=\cot {\alpha }^o\iff x={\alpha }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}.$

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT $\to$MODE $\to$4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc $\alpha$ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc $\alpha$.

B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin2x + 2sinx.cosx – 5cos2x = 0

b) $\sqrt{3}\sin x-\cos x=\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) $2si{n}^{2}x+2\sin x.\cos x-5co{s}^2\text{x}=0$

⇔ $2{\tan }^{2}x+3\tan x-5=0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x\approx 1,2+k\pi$ (k ∈ ℤ).

b) $\sqrt{3}\sin x-\cos x=\sqrt{2}$

⇔ $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ $\sin x.\cos \frac{\pi }{6}-\cos x.\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{11\pi }{12}+2k\pi$ (k ∈ ℤ).

Bài 2. Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x.

Hướng dẫn giải

Điều kiện cos 5x ≠ 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2sin5x.cos3x = 2sin7x.cos5x

⇔ sin8x = sin12x

• Với $x=\frac{k\pi }{2}$ thì ta có:

$\cos 5x=\cos \frac{5k\pi }{2}=\cos \left(\frac{k\pi }{2}+2k\pi \right)=\cos \left(\frac{k\pi }{2}\right)\ne 0$

⇔ k = 2m (m ∈ ℤ)

• Với $x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}$ thì ta có:

$\cos 5x=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)\ne 0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=m\pi ;x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}$ (m, k ∈ ℤ).

Bài 3. Tìm x ∈ [0; 14] sao cho: cos3x – 4cos2x + 3cos x – 4 = 0. (1)

Hướng dẫn giải

Ta có: cos3x = 4cos3x – 3cosx

(1) ⇔ cos3x + 3cos x – 4(1 + cos2x) = 0

⇔ 4cos3x – 8cos2x = 0

⇔ 4cos3x.(cos x – 2) = 0

⇔ cos x = 0

⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (k ∈ ℤ)

Vì x ∈ [0; 14] ⇒ {$x\in \left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right\}.$}

Vậy {$x\in \left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right\}.$}