Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

- Nếu a và $\left(P\right)$ có một điểm chung duy nhất thì ta nói a và $\left(P\right)$ cắt nhau tại A. Kí hiệu $a\cap \left(P\right)=A$ hay $a\cap \left(P\right)=\left\{A\right\}$.

- Nếu a và $\left(P\right)$ có từ 2 điểm chung phân biệt trở lên thì ta nói a nằm trong $\left(P\right)$ hay $\left(P\right)$ chứa a. Kí hiệu $a\subset \left(P\right)$ hay $\left(P\right)\supset a$.

- Nếu a và $\left(P\right)$ không có điểm chung thì ta nói a song song với $\left(P\right)$ hay $\left(P\right)$song song với a. Kí hiệu là $a//\left(P\right)$ hay $\left(P\right)//a$.

*Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

• Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì ta nói $a//\left(P\right)$.

3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì a // b.

* Hệ quả:

- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua điểm M thuộc (P) ta vẽ đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P).

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

* Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song vơi đường thẳng còn lại

- Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.

B. Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua M, song song với BD và SA.

Hướng dẫn giải

Qua M kẻ ME song song với BD, với E thuộc AD

Gọi O và I lần lượt là giao điểm của AC với BD và ME

Qua M kẻ MF song song với AS, với F thuộc SB

Qua E kẻ EG song song với AS, với G thuộc SD

Qua I kẻ IH song song với AS, với H thuộc SC

Khi đó ngũ giác MEGHF là thiết diện cần tìm.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng GF // (ABC) và GF // (ABD)

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của cạnh CD

G là trọng tâm của tam giác ACD nên ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$ (1)

Lại có F là trọng tâm của tam giác BCD nên suy ra $\frac{BF}{BM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MF}{MB}=\frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{MG}{MA}=\frac{MF}{MB}\left(=\frac{1}{3}\right)$

Xét tam giác MBA có $\frac{MG}{MA}=\frac{MF}{MB}$ nên theo định lí Ta-lét đảo ta có GF // AB

Mà AB $\subset$ (ABC) nên suy ra GF // (ABC)

Tương tự AB $\subset$ (ABD) nên suy ra GF // (ABD).

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}$ . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // (BCD). Tính tỉ số $\frac{NC}{AN}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4}$

Do MN // (BCD) mà MN $\subset$ (ABC)

Và với BC = (BCD) $\cap$ (ABC) nên suy ra MN // BC

Xét tam giác ABC có MN // BC nên theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{NC}{AN}=3.$