Lý thuyết Hai đường thẳng song song (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Hai đường thẳng song song

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng a, b trong không gian.

• Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

• Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b hoặc b chéo với a.

* Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu //.

* Chú ý:

- Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng (tức là không cùng nằm trong một mặt phẳng).

- Có duy nhất một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song (a // b), kí hiệu mp(a,b).

2. Tính chất cơ bản của hai đường thẳng song song

• Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

• Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

* Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa 2 đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với 2 đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

• Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

B. Bài tập Hai đường thẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên BD lấy điểm E bất kì. Qua E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt CD tại F. Tứ giác MNFE là hình gì?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABD

Do đó MN // BD

Lại có theo bài ra: EF // BD

Vậy suy ra MN // EF (cùng song song với cạnh BD)

Khi đó tứ giác MNFE là hình thang.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA. Gọi a là giao tuyến của (SAB) và (SCD); b là giao tuyến của (SAB) và (MCD). Chứng minh: a // b.

Hướng dẫn giải

Ta có: S $\in$ (SAB) $\cap$ (SCD)

AB $\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (SCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (SCD) = a, với a // AB // CD (1)

Lại có: M $\in$ (SAB) $\cap$ (MCD)

AB$\subset$ (SAB) và CD $\subset$ (MCD)

Và AB // CD

Suy ra (SAB) $\cap$ (MCD) = b, với b // AB // CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra a // b (Cùng song song với AB và CD).

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB và CD là hai đường chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là một tứ diện đều nên bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc mặt phẳng hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Từ đó suy ra hai đường thẳng AB và CD không đồng phẳng.

Vậy AB và CD chéo nhau.